Реши 25.14 (б)

Рассмотрим задачу 25.14 (б):

Найти выражение для \(\frac{\cos(\alpha - \beta)}{\cos\alpha \cdot \cos\beta}\).

Мы можем обратиться к формуле косинуса разности углов: \[ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cdot \cos\beta + \sin\alpha \cdot \sin\beta \]

Таким образом, подставив это в исходное выражение, получаем: \[ \frac{\cos(\alpha - \beta)}{\cos\alpha \cdot \cos\beta} = \frac{\cos\alpha \cdot \cos\beta + \sin\alpha \cdot \sin\beta}{\cos\alpha \cdot \cos\beta} \]

Разделим каждое слагаемое числителя на знаменатель: \[ = \frac{\cos\alpha \cdot \cos\beta}{\cos\alpha \cdot \cos\beta} + \frac{\sin\alpha \cdot \sin\beta}{\cos\alpha \cdot \cos\beta} \]

У нас получится: \[ = 1 + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\sin\beta}{\cos\beta} \]

Заметим, что \(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha\) и \(\frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \tan\beta\).

Следовательно: \[ = 1 + \tan\alpha \cdot \tan\beta \]

Таким образом, выражение \(\frac{\cos(\alpha - \beta)}{\cos\alpha \cdot \cos\beta}\) равно \(1 + \tan\alpha \cdot \tan\beta\).