Рассмотрим задачу 25.14 (б):
Найти выражение для (\frac{\cos(\alpha - \beta)}{\cos\alpha \cdot \cos\beta}).
Мы можем обратиться к формуле косинуса разности углов:
[
\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cdot \cos\beta + \sin\alpha \cdot \sin\beta
]
Таким образом, подставив это в исходное выражение, получаем:
[
\frac{\cos(\alpha - \beta)}{\cos\alpha \cdot \cos\beta} = \frac{\cos\alpha \cdot \cos\beta + \sin\alpha \cdot \sin\beta}{\cos\alpha \cdot \cos\beta}
]
Разделим каждое слагаемое числителя на знаменатель:
[
= \frac{\cos\alpha \cdot \cos\beta}{\cos\alpha \cdot \cos\beta} + \frac{\sin\alpha \cdot \sin\beta}{\cos\alpha \cdot \cos\beta}
]
У нас получится:
[
= 1 + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\sin\beta}{\cos\beta}
]
Заметим, что (\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha) и (\frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \tan\beta).
Следовательно:
[
= 1 + \tan\alpha \cdot \tan\beta
]
Таким образом, выражение (\frac{\cos(\alpha - \beta)}{\cos\alpha \cdot \cos\beta}) равно (1 + \tan\alpha \cdot \tan\beta).
