logx4+1/2 logx^2 64=5

Решим уравнение \( \log_x 4 + \frac{1}{2} \log_x^2 64 = 5 \) пошагово.

Шаг 1: Упрощение уравнения

Сначала заметим, что \( \log_x^2 64 \) можно выразить через \( \log_x 64 \):

\[ \log_x^2 64 = \left( \log_x 64 \right)^2 \]

Это позволяет переписать уравнение в такой форме:

\[ \log_x 4 + \frac{1}{2} \left( \log_x 64 \right)^2 = 5 \]

Шаг 2: Переход к более удобной базе

Используем изменения оснований логарифма. Напомним, что \( 64 = 4^3 \), и тогда:

\[ \log_x 64 = \log_x (4^3) = 3 \log_x 4 \]

Обозначим \( y = \log_x 4 \). Тогда \( \log_x 64 = 3y \), и мы можем подставить эти значения в уравнение:

\[ y + \frac{1}{2} (3y)^2 = 5 \]

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Теперь упростим уравнение:

\[ y + \frac{1}{2} (9y^2) = 5 \]

или

\[ y + \frac{9}{2}y^2 = 5 \]

Теперь умножим всё уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей:

\[ 2y + 9y^2 = 10 \]

Переписываем в стандартной форме:

\[ 9y^2 + 2y - 10 = 0 \]

Шаг 4: Использование формулы корней квадратного уравнения

Применим формулу для решения квадратного уравнения \( ay^2 + by + c = 0 \):

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \( a = 9 \), \( b = 2 \), \( c = -10 \). Подставим эти значения в формулу:

\[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-10)}}{2 \cdot 9} \] \[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 360}}{18} \] \[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{364}}{18} \] \[ y = \frac{-2 \pm 2\sqrt{91}}{18} \] \[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{91}}{9} \]

Шаг 5: Найдем логарифм и основание

Теперь, так как \( y = \log_x 4 \), мы имеем два возможных значения:

1. \( \log_x 4 = \frac{-1 + \sqrt{91}}{9} \)
2. \( \log_x 4 = \frac{-1 - \sqrt{91}}{9} \)

Второе значение будет отрицательным и не подойдёт, так как логарифм положительного числа не может быть отрицательным. Оставим только первое значение.

Теперь выразим основание \( x \):

\[ \log_x 4 = k \implies x^k = 4 \]

Подставим найденное значение:

\[ x^{\frac{-1 + \sqrt{91}}{9}} = 4 \]

Теперь можем выразить \( x \):

\[ x = 4^{\frac{9}{-1 + \sqrt{91}}} \]

Ответ

Это выражение задаст значение \( x \), соответствующее уравнению.

Таким образом, мы пришли к решению уравнения. Если есть вопросы или необходима дополнительная помощь, не стесняйтесь спрашивать!