Logx4+1/2 logx^2 64=5

Решим уравнение \( \log_x 4 + \frac{1}{2} \log_x^2 64 = 5 \) пошагово. ### Шаг 1: Упрощение уравнения Сначала заметим, что \( \log_x^2 64 \) можно выразить через \( \log_x 64 \): \[ \log_x^2 64 = \left( \log_x 64 \right)^2 \] Это позволяет переписать уравнение в такой форме: \[ \log_x 4 + \frac{1}{2} \left( \log_x 64 \right)^2 = 5 \] ### Шаг 2: Переход к более удобной базе Используем изменения оснований логарифма. Напомним, что \( 64 = 4^3 \), и тогда: \[ \log_x 64 = \log_x (4^3) = 3 \log_x 4 \] Обозначим \( y = \log_x 4 \). Тогда \( \log_x 64 = 3y \), и мы можем подставить эти значения в уравнение: \[ y + \frac{1}{2} (3y)^2 = 5 \] ### Шаг 3: Решение квадратного уравнения Теперь упростим уравнение: \[ y + \frac{1}{2} (9y^2) = 5 \] или \[ y + \frac{9}{2}y^2 = 5 \] Теперь умножим всё уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей: \[ 2y + 9y^2 = 10 \] Переписываем в стандартной форме: \[ 9y^2 + 2y - 10 = 0 \] ### Шаг 4: Использование формулы корней квадратного уравнения Применим формулу для решения квадратного уравнения \( ay^2 + by + c = 0 \): \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 9 \), \( b = 2 \), \( c = -10 \). Подставим эти значения в формулу: \[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-10)}}{2 \cdot 9} \] \[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 360}}{18} \] \[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{364}}{18} \] \[ y = \frac{-2 \pm 2\sqrt{91}}{18} \] \[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{91}}{9} \] ### Шаг 5: Найдем логарифм и основание Теперь, так как \( y = \log_x 4 \), мы имеем два возможных значения: 1. \( \log_x 4 = \frac{-1 + \sqrt{91}}{9} \) 2. \( \log_x 4 = \frac{-1 - \sqrt{91}}{9} \) Второе значение будет отрицательным и не подойдёт, так как логарифм положительного числа не может быть отрицательным. Оставим только первое значение. Теперь выразим основание \( x \): \[ \log_x 4 = k \implies x^k = 4 \] Подставим найденное значение: \[ x^{\frac{-1 + \sqrt{91}}{9}} = 4 \] Теперь можем выразить \( x \): \[ x = 4^{\frac{9}{-1 + \sqrt{91}}} \] ### Ответ Это выражение задаст значение \( x \), соответствующее уравнению. Таким образом, мы пришли к решению уравнения. Если есть вопросы или необходима дополнительная помощь, не стесняйтесь спрашивать!