Давайте пройдемся по каждому предложению и найдем ошибки. Затем мы исправим их и запишем исправленный вариант.
Поначалу Галилей увидел множество сливающихся звёзд в сплошное сияние.
Ошибка: "в сплошное сияние" — неверное объединение.
Исправленный вариант: Поначалу Галилей увидел множество сливающихся звёзд в сплошном сиянии.Подойдя поближе, я увидел уличного фокусника в цилиндре.
Ошибка: Предложение корректно.
Исправленный вариант: Подойдя поближе, я увидел уличного фокусника в цилиндре.На разбитых садовником клумбах пестрели самые разные цветы.
Ошибка: "разбитых садовником" ненужный падеж, лучше "первозданных".
Исправленный вариант: На разбитых садовником клумбах пестрели самые разные цветы.Слушая музыку Мусоргского, слышны интонации народных песен.
Ошибка: Слово "слышны" не согласуется с действующим лицом.
Исправленный вариант: Слушая музыку Мусоргского, я слышал интонации народных песен.На отправляемые письма в деревню никто не отвечал.
Ошибка: "отправляемые" — неправильно согласуется.
Исправленный вариант: На отправленные письма в деревню никто не отвечал.Мы гуляли по парку, наслаждаясь пением птиц, и говорили о литературе.
Ошибка: Предложение корректно.
Исправленный вариант: Мы гуляли по парку, наслаждаясь пением птиц, и говорили о литературе.Возвращаемый в родное село юноша начал работать механиком.
Ошибка: "Возвращаемый" — неуместный деепричастный оборот.
Исправленный вариант: Вернувшись в родное село, юноша начал работать механиком.Собираясь в дорогу, день был солнечным.
Ошибка: "день был солнечным" — неверное сочетание.
Исправленный вариант: Собираясь в дорогу, я заметил, что день был солнечным.Прослушав доклад, наши сомнения рассеялись.
Ошибка: "наши сомнения" — ошибка в логике серии.
Исправленный вариант: Прослушав доклад, я рассеял свои сомнения.Широко расстилались заливные луга, сплошь покрывшие цветами.
Ошибка: Предложение корректно.
Исправленный вариант: Широко расстилались заливные луга, сплошь покрытые цветами.Соединяемая разные части посёлка дорога обрывается у моря.
Ошибка: "Соединяемая" — неверный падеж и форма.
Исправленный вариант: Соединяющие разные части посёлка дорога обрывается у моря.Весело напевавший Пётр что-то себе под нос вошёл в подъезд.
Ошибка: "напевавший" — неуместный оборот.
Исправленный вариант: Весело напевая, Пётр что-то себе под нос вошёл в подъезд.В скромно обставляющем кабинете сидел пожилой человек.
Ошибка: "обставляющем" не имеет смысла.
Исправленный вариант: В скромно обставленном кабинете сидел пожилой человек.Создавая пейзажные зарисовки, художниками запечатлевается красота России.
Ошибка: "художниками" следует заменить на "художники".
Исправленный вариант: Создавая пейзажные зарисовки, художники запечатлевают красоту России.
Если нужны дополнительные объяснения по конкретным предложениям, дайте знать!