Для решения задачи нужно вычислить значение выражения ((\vec{m} + \vec{n}) \cdot (\vec{b} - \vec{k})), где векторы заданы как:
- (\vec{m} = {-2; 7})
- (\vec{n} = {4; -1})
- (\vec{k} = {6; 3})
- (\vec{b} = {-8; -5})
На первом шаге давайте вычислим сумму векторов (\vec{m}) и (\vec{n}):
[
\vec{m} + \vec{n} = {-2; 7} + {4; -1}
]
Сложим соответствующие компоненты векторов:
[
\begin{align*}
x\text{-компоненты:} & \quad -2 + 4 = 2 \
y\text{-компоненты:} & \quad 7 - 1 = 6
\end{align*}
]
Таким образом, мы получаем:
[
\vec{m} + \vec{n} = {2; 6}
]
Следующий шаг — вычислить разность векторов (\vec{b}) и (\vec{k}):
[
\vec{b} - \vec{k} = {-8; -5} - {6; 3}
]
Также сложим соответствующие компоненты, но с учетом вычитания:
[
\begin{align*}
x\text{-компоненты:} & \quad -8 - 6 = -14 \
y\text{-компоненты:} & \quad -5 - 3 = -8
\end{align*}
]
Таким образом, мы получаем:
[
\vec{b} - \vec{k} = {-14; -8}
]
Теперь, когда мы вычислили обе суммы, можем найти скалярное произведение ((\vec{m} + \vec{n})) и ((\vec{b} - \vec{k})):
[
(\vec{m} + \vec{n}) \cdot (\vec{b} - \vec{k}) = {2; 6} \cdot {-14; -8}
]
Скалярное произведение считается по формуле:
[
x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2
]
Где (x_1) и (y_1) — компоненты первого вектора, а (x_2) и (y_2) — компоненты второго вектора:
[
\begin{align*}
2 \cdot (-14) + 6 \cdot (-8) & = -28 + (-48) \
& = -28 - 48 \
& = -76
\end{align*}
]
Таким образом, значение выражения ((\vec{m} + \vec{n}) \cdot (\vec{b} - \vec{k})) равно (-76).
