Вычисли значение ( m → + n → ) ⋅ ( b → − k → ) ( m + n )⋅( b − k ) , если m → { − 2 ; 7 } m {−2;7} , n → { 4 ; − 1 } n {4;−1} , k → { 6 ; 3 } k {6;3} , b → { − 8 ; − 5 } b {−8;−5}…

Для решения задачи нужно вычислить значение выражения \((\vec{m} + \vec{n}) \cdot (\vec{b} - \vec{k})\), где векторы заданы как:

• \(\vec{m} = \{-2; 7\}\)
• \(\vec{n} = \{4; -1\}\)
• \(\vec{k} = \{6; 3\}\)
• \(\vec{b} = \{-8; -5\}\)

На первом шаге давайте вычислим сумму векторов \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\):

\[ \vec{m} + \vec{n} = \{-2; 7\} + \{4; -1\} \]

Сложим соответствующие компоненты векторов:

\[ \begin{align*} x\text{-компоненты:} & \quad -2 + 4 = 2 \\ y\text{-компоненты:} & \quad 7 - 1 = 6 \end{align*} \]

Таким образом, мы получаем:

\[ \vec{m} + \vec{n} = \{2; 6\} \]

Следующий шаг — вычислить разность векторов \(\vec{b}\) и \(\vec{k}\):

\[ \vec{b} - \vec{k} = \{-8; -5\} - \{6; 3\} \]

Также сложим соответствующие компоненты, но с учетом вычитания:

\[ \begin{align*} x\text{-компоненты:} & \quad -8 - 6 = -14 \\ y\text{-компоненты:} & \quad -5 - 3 = -8 \end{align*} \]

Таким образом, мы получаем:

\[ \vec{b} - \vec{k} = \{-14; -8\} \]

Теперь, когда мы вычислили обе суммы, можем найти скалярное произведение \((\vec{m} + \vec{n})\) и \((\vec{b} - \vec{k})\):

\[ (\vec{m} + \vec{n}) \cdot (\vec{b} - \vec{k}) = \{2; 6\} \cdot \{-14; -8\} \]

Скалярное произведение считается по формуле:

\[ x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 \]

Где \(x_1\) и \(y_1\) — компоненты первого вектора, а \(x_2\) и \(y_2\) — компоненты второго вектора:

\[ \begin{align*} 2 \cdot (-14) + 6 \cdot (-8) & = -28 + (-48) \\ & = -28 - 48 \\ & = -76 \end{align*} \]

Таким образом, значение выражения \((\vec{m} + \vec{n}) \cdot (\vec{b} - \vec{k})\) равно \(-76\).