1. I must apologize for (be) so rude. 2. I want you … (admit) this fact. 3. The old woman was afraid of ＿ (fall) ill. 4. You should prevent him from …(buy) that house. 5. It's no…

Давай разберем каждое предложение и выполним задания, используя правильные формы глаголов, обозначив незначительные грамматические конструкции и давая необходимые пояснения.

1. I must apologize for (be) so rude.
   Правильный вариант: I must apologize for being so rude.
   Объяснение: После предлога "for" используется герундий (being) для выражения причины.

2. I want you … (admit) this fact.
   Правильный вариант: I want you to admit this fact.
   Объяснение: Здесь нужно использовать инфинитив с "to" (to admit), так как "want" требует дополнения в виде инфинитива.

3. The old woman was afraid of ＿ (fall) ill.
   Правильный вариант: The old woman was afraid of falling ill.
   Объяснение: После предлога "of" нужно использовать герундий (falling).

4. You should prevent him from …(buy) that house.
   Правильный вариант: You should prevent him from buying that house.
   Объяснение: В данном случае "from" также требует герундий (buying).

5. It's no use ＿ (wait) for him.
   Правильный вариант: It's no use waiting for him.
   Объяснение: "No use" требует употребления герундия (waiting).

6. Don't forget … (post) the letter!
   Правильный вариант: Don't forget to post the letter!
   Объяснение: Здесь требуется инфинитив (to post) после "forget", так как мы говорим о действии, которое нужно сделать.

7. Do you insist on … (come) with us?
   Правильный вариант: Do you insist on coming with us?
   Объяснение: После "insist on" используется герундий (coming).

8. Listen to him. He has something … (tell) you.
   Правильный вариант: Listen to him. He has something to tell you.
   Объяснение: После "something" употребляется инфинитив (to tell).

9. I tried … (remember) his name, but I couldn't.
   Правильный вариант: I tried to remember his name, but I couldn't.
   Объяснение: "Tried" требует инфинитив (to remember), так как речь идет о намерении сделать что-то.

10. Father gave up … (smoke) when I was 25.
    Правильный вариант: Father gave up smoking when I was 25.
    Объяснение: "Gave up" требует герундий (smoking).

11. He hopes … (meet) his friend at the bus stop.
    Правильный вариант: He hopes to meet his friend at the bus stop.
    Объяснение: "Hopes" требует инфинитив (to meet).

12. I pretended …(sympathize) with him.
    Правильный вариант: I pretended to sympathize with him.
    Объяснение: "Pretended" требует инфинитив (to sympathize).

13. Would you mind … … (open) the window?
    Правильный вариант: Would you mind opening the window?
    Объяснение: "Would you mind" требует герундий (opening).

14. I'll try to avoid (speak) to this man.
    Правильный вариант: I'll try to avoid speaking to this man.
    Объяснение: "Try to avoid" требует герундий (speaking).

15. When he was young, he used to … (spend) a lot of time on the beach.
    Правильный вариант: When he was young, he used to spend a lot of time on the beach.
    Объяснение: "Used to" требует инфинитив (spend) без "to".

16. I'm used to… …(eat) a substantial breakfast.
    Правильный вариант: I'm used to eating a substantial breakfast.
    Объяснение: "Used to" в данной конструкции требует герундий (eating).

Теперь все предложения правильно составлены с учётом грамматических правил! Если есть вопросы или нужно что-то дополнительно объяснить, дай знать!