Реши 8.17(а)

Давайте решим задачу 8.17(а).

Задание:
Найдите \( a, b, c \), если точка \( M(-1; 7) \) является вершиной параболы \( y = ax^2 + bx + c \), пересекающей ось \( Ox \) в точках \( A(-3; 0)\) и \( B (1; 0) \).

Шаг 1: Условия пересечения с осью \(Ox\)

Поскольку точки \( A(-3, 0) \) и \( B(1, 0) \) лежат на оси \( Ox \), они являются корнями уравнения параболы. Поэтому уравнение параболы можно записать через корни:

\[ y = a(x + 3)(x - 1) \]

Шаг 2: Используем вершину параболы

Точка \( M(-1, 7) \) является вершиной параболы. Вершина параболы, заданной через корни, находится в середине между корнями, т.е. абсцисса вершины:

\[ x = \frac{-3 + 1}{2} = -1 \]

Значение функция в вершине должно соответствовать представленному условию:

\[ y(-1) = 7 \]

Шаг 3: Подставим вершину в уравнение

Теперь подставим вершину параболы в уравнение:

\[ y = a(-1 + 3)(-1 - 1) = 7 \]

Упростим:

\[ y = a \cdot 2 \cdot (-2) = 7 \]

\[ -4a = 7 \]

Отсюда получаем:

\[ a = -\frac{7}{4} \]

Шаг 4: Подставим найденное \(a\) и раскроем скобки

Теперь подставим найденное значение \( a \) и раскроем скобки в уравнении параболы:

\[ y = -\frac{7}{4}(x+3)(x-1) \]

Раскроем скобки:

\[ y = -\frac{7}{4}(x^2 - x + 3x - 3) \]

\[ y = -\frac{7}{4}(x^2 + 2x - 3) \]

Умножим все на \(-\frac{7}{4}\):

\[ y = -\frac{7}{4}x^2 - \frac{14}{4}x + \frac{21}{4} \]

\[ y = -\frac{7}{4}x^2 - \frac{7}{2}x + \frac{21}{4} \]

Так мы нашли коэффициенты:

\[ a = -\frac{7}{4}, \quad b = -\frac{7}{2}, \quad c = \frac{21}{4} \]

Итог:

Решение задачи завершено. Значения коэффициентов: \( a = -\frac{7}{4} \), \( b = -\frac{7}{2} \), \( c = \frac{21}{4} \).