Реши 8.17(а)

Давайте решим задачу 8.17(а). **Задание:** Найдите \( a, b, c \), если точка \( M(-1; 7) \) является вершиной параболы \( y = ax^2 + bx + c \), пересекающей ось \( Ox \) в точках \( A(-3; 0)\) и \( B (1; 0) \). ### Шаг 1: Условия пересечения с осью \(Ox\) Поскольку точки \( A(-3, 0) \) и \( B(1, 0) \) лежат на оси \( Ox \), они являются корнями уравнения параболы. Поэтому уравнение параболы можно записать через корни: \[ y = a(x + 3)(x - 1) \] ### Шаг 2: Используем вершину параболы Точка \( M(-1, 7) \) является вершиной параболы. Вершина параболы, заданной через корни, находится в середине между корнями, т.е. абсцисса вершины: \[ x = \frac{-3 + 1}{2} = -1 \] Значение функция в вершине должно соответствовать представленному условию: \[ y(-1) = 7 \] ### Шаг 3: Подставим вершину в уравнение Теперь подставим вершину параболы в уравнение: \[ y = a(-1 + 3)(-1 - 1) = 7 \] Упростим: \[ y = a \cdot 2 \cdot (-2) = 7 \] \[ -4a = 7 \] Отсюда получаем: \[ a = -\frac{7}{4} \] ### Шаг 4: Подставим найденное \(a\) и раскроем скобки Теперь подставим найденное значение \( a \) и раскроем скобки в уравнении параболы: \[ y = -\frac{7}{4}(x+3)(x-1) \] Раскроем скобки: \[ y = -\frac{7}{4}(x^2 - x + 3x - 3) \] \[ y = -\frac{7}{4}(x^2 + 2x - 3) \] Умножим все на \(-\frac{7}{4}\): \[ y = -\frac{7}{4}x^2 - \frac{14}{4}x + \frac{21}{4} \] \[ y = -\frac{7}{4}x^2 - \frac{7}{2}x + \frac{21}{4} \] Так мы нашли коэффициенты: \[ a = -\frac{7}{4}, \quad b = -\frac{7}{2}, \quad c = \frac{21}{4} \] ### Итог: Решение задачи завершено. Значения коэффициентов: \( a = -\frac{7}{4} \), \( b = -\frac{7}{2} \), \( c = \frac{21}{4} \).