решить уравнение касательной функции √x +2 x0=1

Для того чтобы решить задачу, начнем с уравнения касательной функции \( f(x) = \sqrt{x} + 2 \) в точке \( x_0 = 1 \).

Шаг 1: Найдем производную функции

Сначала необходимо вычислить производную функции \( f(x) \): \[ f(x) = \sqrt{x} + 2 \]

Производная \( f'(x) \) равна: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) + \frac{d}{dx}(2) \] Зная, что производная \( \sqrt{x} \) равна \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \), а производная константы равна нулю, получаем: \[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 0 = \frac{1}{2\sqrt{x}} \]

Шаг 2: Найдем производную в точке \( x_0 = 1 \)

Теперь мы находим производную в точке \( x = 1 \): \[ f'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2} \]

Шаг 3: Находим значение функции в точке \( x_0 = 1 \)

Также нам необходимо найти значение функции в точке \( x = 1 \): \[ f(1) = \sqrt{1} + 2 = 1 + 2 = 3 \]

Шаг 4: Составляем уравнение касательной

Уравнение касательной к функции в точке \( (x_0, f(x_0)) \) может быть записано в следующем виде: \[ y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) \] Подставим наши значения:

• \( f(x_0) = 3 \)
• \( f'(x_0) = \frac{1}{2} \)
• \( x_0 = 1 \)

Следовательно, уравнение касательной будет выглядеть так: \[ y - 3 = \frac{1}{2}(x - 1) \]

Шаг 5: Приведем уравнение к стандартному виду

Перепишем уравнение, чтобы упростить его: \[ y - 3 = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \] Добавим 3 к обеим сторонам: \[ y = \frac{1}{2}x + 3 - \frac{1}{2} \] \[ y = \frac{1}{2}x + \frac{6}{2} - \frac{1}{2} \] \[ y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2} \]

Ответ

Уравнение касательной функции \( y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2} \) в точке \( x_0 = 1 \).

Это и есть касательная к функции \( \sqrt{x} + 2 \) в заданной точке.