решить уравнения
Давайте решим оба уравнения поэтапно.
Уравнение 1:
\[ \frac{5}{x-3} - \frac{8}{x} = 3 \]
Чтобы упростить уравнение, найдем общий знаменатель: \(x(x-3)\).
Приведем уравнение к общему знаменателю:
\[ \frac{5x - 8(x-3)}{x(x-3)} = 3 \]
Раскроем скобки:
\[ \frac{5x - 8x + 24}{x(x-3)} = 3 \]
Упростим числитель:
\[ \frac{-3x + 24}{x(x-3)} = 3 \]
Умножим обе части уравнения на \(x(x-3)\), чтобы избавиться от знаменателя:
\[ -3x + 24 = 3x^2 - 9x \]
Перенесем все на одну сторону уравнения:
\[ 3x^2 - 6x - 24 = 0 \]
Разделим на 3 для упрощения:
\[ x^2 - 2x - 8 = 0 \]
Решим квадратное уравнение по формуле:
\(D = b^2 - 4ac\), \(a=1\), \(b=-2\), \(c=-8\)
\[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \]
Найдем корни:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 6}{2} \]
Корни:
\[ x_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2 \]
Ответ: \(x = 4\) или \(x = -2\).
Уравнение 2:
\[ \frac{3x-2}{x} + \frac{1}{2-x} = \frac{3x+4}{x^2-2x} \]
Упростим правую часть:
\[ x^2 - 2x = x(x-2) \]
Общий знаменатель: \(x(x-2)\).
Перепишем уравнение:
\[ \frac{3x-2}{x} + \frac{1}{2-x} = \frac{3x+4}{x(x-2)} \]
Умножим на \(-1\) для второго дроби:
\[ \frac{1}{2-x} = -\frac{1}{x-2} \]
Теперь уравнение:
\[ \frac{3x-2}{x} - \frac{1}{x-2} = \frac{3x+4}{x(x-2)} \]
Приведем левую часть к общему знаменателю \(x(x-2)\):
\[ \frac{(3x-2)(x-2) - x}{x(x-2)} = \frac{3x+4}{x(x-2)} \]
Раскроем скобки в числителе:
\[ (3x-2)(x-2) = 3x^2 - 6x - 2x + 4 = 3x^2 - 8x + 4 \]
И имеем:
\[ \frac{3x^2 - 8x + 4 - x}{x(x-2)} = \frac{3x+4}{x(x-2)} \]
\[ \frac{3x^2 - 9x + 4}{x(x-2)} = \frac{3x+4}{x(x-2)} \]
Числители равны, значит:
\[ 3x^2 - 9x + 4 = 3x + 4 \]
Переносим все влево:
\[ 3x^2 - 12x + 0 = 0 \]
Выражаем \(x\):
\[ 3x^2 = 12x \]
\[ x(x-4) = 0 \]
Корни:
\[ x_1 = 0, \quad x_2 = 4 \]
Ответ: \(x = 0\) или \(x = 4\).
Уравнение 3:
\[ \frac{2x}{2x-3} - \frac{15 - 32x^2}{4x^2-9} = \frac{3x}{2x+3} \]
\(4x^2-9\) это разность квадратов: \((2x-3)(2x+3)\).
Общий знаменатель: \((2x-3)(2x+3)\).
Перепишем уравнение:
\[ \frac{2x}{2x-3} - \frac{15 - 32x^2}{(2x-3)(2x+3)} = \frac{3x}{2x+3} \]
Приведем первую дробь к общему знаменателю:
\[ \frac{2x(2x+3)}{(2x-3)(2x+3)} \]
Теперь уравнение:
\[ \frac{2x(2x+3) - (15 - 32x^2)}{(2x-3)(2x+3)} = \frac{3x}{2x+3} \]
Раскроем скобки:
\[ 2x(2x+3) = 4x^2 + 6x \]
И числитель:
\[ 4x^2 + 6x - 15 + 32x^2 = 36x^2 + 6x - 15 \]
Имеем уравнение:
\[ \frac{36x^2 + 6x - 15}{(2x-3)(2x+3)} = \frac{3x}{2x+3} \]
Левые и правые части уравнения равны:
\[ 36x^2 + 6x - 15 = 3x(2x-3) \]
Раскроем скобки справа:
\[ 36x^2 + 6x - 15 = 6x^2 - 9x \]
Переносим все влево:
\[ 36x^2 + 6x - 15 - 6x^2 + 9x = 0 \]
\[ 30x^2 + 15x - 15 = 0 \]
Разделим на 5:
\[ 6x^2 + 3x - 3 = 0 \]
Найдем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 9 + 72 = 81 \]
Найдем корни:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 9}{12} \]
Корни:
\[ x_1 = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{-12}{12} = -1 \]
Ответ: \(x = \frac{1}{2}\) или \(x = -1\).
