Решить уравнения

Давайте решим оба уравнения поэтапно. ### Уравнение 1: \[ \frac{5}{x-3} - \frac{8}{x} = 3 \] Чтобы упростить уравнение, найдем общий знаменатель: \(x(x-3)\). Приведем уравнение к общему знаменателю: \[ \frac{5x - 8(x-3)}{x(x-3)} = 3 \] Раскроем скобки: \[ \frac{5x - 8x + 24}{x(x-3)} = 3 \] Упростим числитель: \[ \frac{-3x + 24}{x(x-3)} = 3 \] Умножим обе части уравнения на \(x(x-3)\), чтобы избавиться от знаменателя: \[ -3x + 24 = 3x^2 - 9x \] Перенесем все на одну сторону уравнения: \[ 3x^2 - 6x - 24 = 0 \] Разделим на 3 для упрощения: \[ x^2 - 2x - 8 = 0 \] Решим квадратное уравнение по формуле: \(D = b^2 - 4ac\), \(a=1\), \(b=-2\), \(c=-8\) \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \] Найдем корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 6}{2} \] Корни: \[ x_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2 \] Ответ: \(x = 4\) или \(x = -2\). ### Уравнение 2: \[ \frac{3x-2}{x} + \frac{1}{2-x} = \frac{3x+4}{x^2-2x} \] Упростим правую часть: \[ x^2 - 2x = x(x-2) \] Общий знаменатель: \(x(x-2)\). Перепишем уравнение: \[ \frac{3x-2}{x} + \frac{1}{2-x} = \frac{3x+4}{x(x-2)} \] Умножим на \(-1\) для второго дроби: \[ \frac{1}{2-x} = -\frac{1}{x-2} \] Теперь уравнение: \[ \frac{3x-2}{x} - \frac{1}{x-2} = \frac{3x+4}{x(x-2)} \] Приведем левую часть к общему знаменателю \(x(x-2)\): \[ \frac{(3x-2)(x-2) - x}{x(x-2)} = \frac{3x+4}{x(x-2)} \] Раскроем скобки в числителе: \[ (3x-2)(x-2) = 3x^2 - 6x - 2x + 4 = 3x^2 - 8x + 4 \] И имеем: \[ \frac{3x^2 - 8x + 4 - x}{x(x-2)} = \frac{3x+4}{x(x-2)} \] \[ \frac{3x^2 - 9x + 4}{x(x-2)} = \frac{3x+4}{x(x-2)} \] Числители равны, значит: \[ 3x^2 - 9x + 4 = 3x + 4 \] Переносим все влево: \[ 3x^2 - 12x + 0 = 0 \] Выражаем \(x\): \[ 3x^2 = 12x \] \[ x(x-4) = 0 \] Корни: \[ x_1 = 0, \quad x_2 = 4 \] Ответ: \(x = 0\) или \(x = 4\). ### Уравнение 3: \[ \frac{2x}{2x-3} - \frac{15 - 32x^2}{4x^2-9} = \frac{3x}{2x+3} \] \(4x^2-9\) это разность квадратов: \((2x-3)(2x+3)\). Общий знаменатель: \((2x-3)(2x+3)\). Перепишем уравнение: \[ \frac{2x}{2x-3} - \frac{15 - 32x^2}{(2x-3)(2x+3)} = \frac{3x}{2x+3} \] Приведем первую дробь к общему знаменателю: \[ \frac{2x(2x+3)}{(2x-3)(2x+3)} \] Теперь уравнение: \[ \frac{2x(2x+3) - (15 - 32x^2)}{(2x-3)(2x+3)} = \frac{3x}{2x+3} \] Раскроем скобки: \[ 2x(2x+3) = 4x^2 + 6x \] И числитель: \[ 4x^2 + 6x - 15 + 32x^2 = 36x^2 + 6x - 15 \] Имеем уравнение: \[ \frac{36x^2 + 6x - 15}{(2x-3)(2x+3)} = \frac{3x}{2x+3} \] Левые и правые части уравнения равны: \[ 36x^2 + 6x - 15 = 3x(2x-3) \] Раскроем скобки справа: \[ 36x^2 + 6x - 15 = 6x^2 - 9x \] Переносим все влево: \[ 36x^2 + 6x - 15 - 6x^2 + 9x = 0 \] \[ 30x^2 + 15x - 15 = 0 \] Разделим на 5: \[ 6x^2 + 3x - 3 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 9 + 72 = 81 \] Найдем корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 9}{12} \] Корни: \[ x_1 = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{-12}{12} = -1 \] Ответ: \(x = \frac{1}{2}\) или \(x = -1\).