) 2x+y=12,\\ 7x - 2y = 31
Давайте решить систему уравнений:
- \( 2x + y = 12 \)
- \( 7x - 2y = 31 \)
Мы будем использовать метод подстановки для решения этой системы.
Шаг 1: Выразим одну переменную через другую
Начнем с первого уравнения:
\[ 2x + y = 12 \]
Выразим \(y\):
\[ y = 12 - 2x \quad (1) \]
Шаг 2: Подставим выражение в другое уравнение
Теперь подставим это значение \(y\) из уравнения (1) во второе уравнение:
\[ 7x - 2y = 31 \]
Теперь заменим \(y\) на \(12 - 2x\):
\[ 7x - 2(12 - 2x) = 31 \]
Шаг 3: Раскроем скобки
Раскроем скобки в уравнении:
\[ 7x - 24 + 4x = 31 \]
Шаг 4: Сложим аналогичные слагаемые
Сложим \(7x\) и \(4x\):
\[ 11x - 24 = 31 \]
Шаг 5: Переносим свободный член
Теперь перенесем \(-24\) в правую часть уравнения:
\[ 11x = 31 + 24 \]
\[ 11x = 55 \]
Шаг 6: Найдем значение \(x\)
Теперь разделим обе стороны на 11:
\[ x = \frac{55}{11} = 5 \]
Шаг 7: Подставим значение \(x\) обратно, чтобы найти \(y\)
Теперь, когда мы знаем \(x\), подставим его обратно в уравнение (1), чтобы найти \(y\):
\[ y = 12 - 2(5) \]
\[ y = 12 - 10 = 2 \]
Ответ
Таким образом, решение системы уравнений:
\[ x = 5, \quad y = 2 \]
Проверка
Давайте проверим, подставив найденные значения \(x\) и \(y\) в исходные уравнения:
- Для первого уравнения:
\[ 2(5) + 2 = 10 + 2 = 12 \quad \text{(верно)} \]
- Для второго уравнения:
\[ 7(5) - 2(2) = 35 - 4 = 31 \quad \text{(верно)} \]
Оба уравнения выполняются, следовательно, решение правильное.
