Александр Петрович Оськин родился в 1920 году в Рязанской губернии. В возрасте двенадцати лет вместе с родителями переехал в Москву, где успешно завершил обучение в школе и финансово-экономическом техникуме. В 1940 году он поступил на военную службу в Красную армию, попав в танковые войска.
С началом Великой Отечественной войны Александр оказался на Западном фронте, где управлял танком модели Т-26. Он активно участвовал в таких значимых сражениях, как Смоленское сражение и Московская битва. Осенью 1941 года, в результате тяжёлого ранения, он был вынужден прервать свою службу для лечения. Несмотря на это, не дождавшись полного выздоровления, Оськин вернулся к своей танковой части, которая вновь готовилась отправиться на фронт.
Летом 1942 года Александр принимал участие в обороне Сталинграда, а в 1944 году стал командиром танка Т-34 на Прибалтийском фронте. За время боёв он семь раз переживал ситуации, когда его танк горел. Наиболее выдающимся подвигом Оськина стала его операция 12 августа 1944 года, когда он входил в состав танковой группы, действующей на территории ныне известной как Польша. Ему удалось отразить атаку 11 немецких танков «Королевских тигров». Во время этого боя экипаж Оськина уничтожил три немецких танка и нанёс повреждения ещё одному.
На следующий день, в деревне Оглендув, уже занятой немцами, произошёл новый бой, в результате которого удалось захватить три «Королевских тигра». Один из захваченных танков был отправлен в подмосковную Кубинку для изучения советскими специалистами. За проявленный героизм и мужество в боях Александру Оськину было присвоено звание Героя Советского Союза.