Игрок подбросил игральную кость 3 раза. Известно, что в сумме выпало девять очков. Какова вероятность события «хотя бы один раз выпало четыре очка»?

Для решения данной задачи воспользуемся теорией вероятностей. Мы сначала найдём все возможные исходы бросков кости, а затем определим, сколько из них удовлетворяют условию — хотя бы один раз выпало 4 очка.

Шаг 1: Найдем общее количество возможных исходов

Игральная кость имеет 6 граней, следовательно, при трёх бросках общее количество возможных исходов можно вычислить как:

\[ 6^3 = 216 \]

Шаг 2: Найдем количество исходов, где сумма равна 9

Теперь нужно учесть, что нас интересуют только те исходы, в которых сумма выпавших очков равна 9. Для этого можно использовать метод перебора всех возможных троек, либо воспользоваться другим методом (например, генерирующие функции). В данном случае рассмотрим метод перебора.

Рассмотрим все возможные комбинации чисел (x, y, z), таких что x+y+z=9 и 1 ≤ x, y, z ≤ 6.

Вот множество возможных троек, дающих в сумме 9:

1. (1, 2, 6)
2. (1, 3, 5)
3. (1, 4, 4)
4. (2, 2, 5)
5. (2, 3, 4)
6. (3, 3, 3)

Затем определим количество перестановок каждой тройки:

1. (1, 2, 6): 6 перестановок
2. (1, 3, 5): 6 перестановок
3. (1, 4, 4): 3 перестановки (т.к. 4 повторяется)
4. (2, 2, 5): 3 перестановки (т.к. 2 повторяется)
5. (2, 3, 4): 6 перестановок
6. (3, 3, 3): 1 перестановка (все одинаковые)

Теперь подсчитаем общее количество тройных комбинаций, суммирующих 9:

\[ 6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1 = 25 \text{ комбинаций} \]

Шаг 3: Найдем количество успешных исходов с хотя бы одной четверкой

Теперь мы должны найти, сколько из этих 25 комбинаций содержат хотя бы одну четверку. Перебираем все 25 возможных комбинаций:

1. (1, 2, 6)
2. (1, 3, 5)
3. (1, 4, 4) (содержит 4)
4. (2, 2, 5)
5. (2, 3, 4) (содержит 4)
6. (3, 3, 3)

Из 25 комбинаций находим те, где содержится хотя бы одна четверка:

• Тройки: (1, 4, 4) и (2, 3, 4) (по 6 перестановок для каждой)
• Пары (4, 2, 3) также учитываются.

Таким образом, единственные комбинации, которые содержат хотя бы одну 4:

• (1, 4, 4): 3 перестановки
• (2, 3, 4): 6 перестановок
• (4, 1, 4): 3 перестановки

Суммируем количество успешных исходов:

\[ 3 + 6 + 3 = 12 \text{ исходов} \]

Шаг 4: Находим вероятность

Теперь, когда мы знаем, что из 25 исходов 12 содержат хотя бы одну четверку, можем вычислить требуемую вероятность:

\[ P(\text{хотя бы 1 раз 4}) = \frac{\text{Количество успешных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{12}{25} \]

Таким образом, вероятность того, что хотя бы один раз выпало 4 очка при условии, что сумма всех выпавших очков равна 9, равна:

\[ P = \frac{12}{25} \approx 0.48 \]

Ответ

Вероятность события «хотя бы один раз выпало четыре очка» составляет \( \frac{12}{25} \), что примерно равно 0.48 или 48%.