В треугольнике АВС дано: АВ = 5, АС = 7, cosА = 1/7. Найдите сторону ВС

Для решения данной задачи мы воспользуемся теорией косинусов, которая связывает длины сторон треугольника и косинус угла между ними. Формула выглядит следующим образом:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]

Здесь:

• \( c \) — сторона, противоположная углу \( C \).
• \( a \) и \( b \) — другие стороны треугольника.
• \( \cos(C) \) — косинус угла \( C \).

В нашем случае:

• \( AB = c = 5 \)
• \( AC = b = 7 \)
• \( cos(A) = \frac{1}{7} \)

Нам необходимо найти сторону \( BC \), обозначим её как \( a \).

По формуле косинусов:

\[ a^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(A) \]

Подставляем известные значения:

\[ a^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \frac{1}{7} \]

Сначала вычислим \( 5^2 \) и \( 7^2 \):

\[ 5^2 = 25 \]

\[ 7^2 = 49 \]

Теперь подставим в формулу:

\[ a^2 = 25 + 49 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \frac{1}{7} \]

Упростим вторую часть:

\[ 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \frac{1}{7} = 2 \cdot 5 = 10 \]

Теперь можем продолжить вычисления:

\[ a^2 = 25 + 49 - 10 \]

Сложим значения:

\[ a^2 = 64 \]

Теперь найдём \( a \), взяв квадратный корень из 64:

\[ a = \sqrt{64} = 8 \]

Таким образом, длина стороны \( BC \) составляет 8.

Ответ: Сторона \( BC = 8 \).