Из напорного бака течет вода по трубе диаметром d1=20 мм , и затем вытекает в атмосферу через насадок с диаметром выходного отверстия d2=10 мм. Избыточное давление воздуха в баке…

Для решения этой задачи нам необходимо применять основные принципы гидродинамики, включая закон Бернулли и уравнение непрерывности.

Давайте поэтапно разберемся с решением:

Шаг 1: Данные и обозначения

• Диаметр трубы (d1): 20 мм = 0,02 м
• Диаметр насадки (d2): 10 мм = 0,01 м
• Избыточное давление в баке (Po): 0,18 МПа = 180000 Па
• Высота (H): 1,6 м
• Плотность воды (ρ): примерно 1000 кг/м³ (при нормальных условиях)

Шаг 2: Определение скорости течения воды в трубе (U1)

Сначала найдем давление на выходе из бака, используя закон Бернулли. На входе в насадок (в трубе) давление рассчитывается следующим образом:

\[ P1 = Po + ρgh \]

где:

• \( P1 \) - давление в трубе.
• \( g \) - ускорение свободного падения (примерно 9,81 м/с²).
• \( h \) - высота столба воды (1.6 м).

Подставляем данные:

\[ P1 = 180000 + 1000 \cdot 9.81 \cdot 1.6 \]

\[ P1 = 180000 + 15696 = 195696 \, \text{Па} \]

Шаг 3: Закон Бернулли

Используем закон Бернулли для определения скорости на выходе из насадка (U2).

Для точки 1 (в трубе) и точки 2 (на выходе из насадки):

\[ P1 + \frac{1}{2} ρ U1^2 + ρgh = P2 + \frac{1}{2} ρ U2^2 \]

На выходе из насадки давление \( P2 \) будет равно атмосферному давлению (0, т.е. 0 Па, если пренебрегать потерями).

Подставляем известные значения:

\[ 195696 + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot U1^2 + 1000 \cdot 9.81 \cdot 1.6 = 0 + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot U2^2 \]

Шаг 4: Уравнение непрерывности

Согласно уравнению непрерывности, объемный поток в трубе равен объемному потоку на выходе через насадок:

\[ A1 \cdot U1 = A2 \cdot U2 \]

где \( A1 \) и \( A2 \) - площади сечения трубы и насадки:

\[ A = \frac{π d^2}{4} \]

Рассчитаем площади:

\[ A1 = \frac{π (0.02)^2}{4} \approx 3.14 \times 10^{-4} \, \text{м}^2 \]

\[ A2 = \frac{π (0.01)^2}{4} \approx 7.85 \times 10^{-5} \, \text{м}^2 \]

Теперь из уравнения непрерывности:

\[ 3.14 \times 10^{-4} \cdot U1 = 7.85 \times 10^{-5} \cdot U2 \]

Отсюда можно выразить \( U2 \):

\[ U2 = \frac{3.14 \times 10^{-4}}{7.85 \times 10^{-5}} \cdot U1 \approx 4 \cdot U1 \]

Шаг 5: Подставляем в уравнение Бернулли

Теперь подставим \( U2 = 4 U1 \) в закон Бернулли:

\[ 195696 + 500 U1^2 + 15696 = 0 + 500 (4U1)^2 \]

Приведем подобные:

\[ 211392 + 500 U1^2 = 8000 U1^2 \]

\[ 211392 = 7500 U1^2 \]

Отсюда выразим скорость в трубе:

\[ U1^2 = \frac{211392}{7500} \approx 28.18 \]

\[ U1 \approx \sqrt{28.18} \approx 5.31 \, \text{м/с} \]

Шаг 6: Находим U2

Теперь найдем скорость на выходе из насадки:

\[ U2 = 4 U1 = 4 \cdot 5.31 \approx 21.24 \, \text{м/с} \]

Итог

• Скорость течения воды в трубе (U1) составляет примерно 5.31 м/с.
• Скорость на выходе из насадка (U2) составляет примерно 21.24 м/с.

Это и есть искомые скорости.