Для решения задачи о нахождении площади равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной ( \frac{14}{\sqrt{2}} ), следуем шагам ниже.
Шаг 1: Обозначение сторон треугольника
В равнобедренном прямоугольном треугольнике две катеты равны, и гипотенуза образует прямой угол между ними. Обозначим длину одного катета как ( a ). По теореме Пифагора для такого треугольника мы имеем:
[
c^2 = a^2 + a^2
]
где ( c ) — длина гипотенузы. Это можно упростить до:
[
c^2 = 2a^2
]
Шаг 2: Подстановка гипотенузы
Теперь подставим значение гипотенузы ( c = \frac{14}{\sqrt{2}} ):
[
\left( \frac{14}{\sqrt{2}} \right)^2 = 2a^2
]
Вычислим квадрат гипотенузы:
[
\frac{14^2}{(\sqrt{2})^2} = \frac{196}{2} = 98
]
Теперь у нас есть уравнение:
[
98 = 2a^2
]
Шаг 3: Решение для катета
Решим это уравнение для ( a^2 ):
[
a^2 = \frac{98}{2} = 49
]
Теперь извлечем корень:
[
a = \sqrt{49} = 7
]
Шаг 4: Нахождение площади треугольника
Площадь ( S ) равнобедренного прямоугольного треугольника считается по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 7 = \frac{49}{2}
]
Ответ
Таким образом, площадь треугольника равна:
[
S = \frac{49}{2} \quad \text{или} \quad 24.5
]
Итог
Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с данной гипотенузой составляет ( \frac{49}{2} ) квадратных единиц или 24.5 квадратных единиц.
