Найди площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = 2 x y=2x , x = − 1 x=−1 , x = 2 x=2 .
Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций \(y = 2x\), \(x = -1\) и \(x = 2\), следуем следующему алгоритму:
Шаг 1: Построение графиков функций и определение области
График \(y = 2x\):
- Это прямая, проходящая через начало координат с угловым коэффициентом 2. Это означает, что при увеличении \(x\) на 1, \(y\) увеличивается на 2.
- При \(x = -1\), \(y = 2(-1) = -2\).
- При \(x = 2\), \(y = 2(2) = 4\).
Вертикальные линии \(x = -1\) и \(x = 2\):
- Эти линии определяют границы области, которую мы будем исследовать.
Теперь нужно определить прямоугольник (или фигуру), ограниченную этими линиями.
Шаг 2: Определение площади фигуры
Площадь фигуры, ограниченной графиками, будет находиться между \(x = -1\) и \(x = 2\). Мы можем найти эту площадь, используя интегралы, так как фигура находится под линией \(y = 2x\).
Используем интеграл для вычисления площади:
\[ \text{Площадь} = \int_{-1}^{2} (2x) \, dx \]
Шаг 3: Вычисление интеграла
Находим первообразную функции \(2x\): \[ \int 2x \, dx = x^2 + C \]
Подставляем пределы: \[ \int_{-1}^{2} 2x \, dx = [x^2]_{-1}^{2} = (2^2) - ((-1)^2) \] \[ = 4 - 1 = 3 \]
Шаг 4: Результат
Итак, площадь фигуры, ограниченной графиком функции \(y = 2x\) и вертикальными линиями \(x = -1\) и \(x = 2\), равна 3 квадратным единицам.
Заключение
Мы нашли площадь фигуры, интегрировав функцию \(2x\) на заданном интервале. Это позволяет нам увидеть, как площадь под графиком функции представляет собой значение интеграла на данном промежутке.
