Найди наибольшее значение функции y=-4,5x^2-x^3+11 на отрезке [-0,5;4]
Для решения задачи найдем наибольшее значение функции \( y = -4,5x^2 - x^3 + 11 \) на отрезке \([-0,5; 4]\). Мы будем использовать методы анализа функции: найдем критические точки и оценки на границах отрезка.
Шаг 1: Найдем производную функции
Для начала найдём производную функции:
\[ y' = \frac{d}{dx}(-4.5x^2 - x^3 + 11) \]
Используя правила дифференцирования, у нас получается:
\[ y' = -9x - 4.5 \]
Шаг 2: Найдем критические точки
Критические точки находятся там, где производная равна нулю:
\[ -9x - 4.5 = 0 \]
Решим это уравнение:
\[ -9x = 4.5 \] \[ x = -\frac{4.5}{9} = -0.5 \]
Таким образом, у нас есть одна критическая точка \( x = -0.5 \).
Шаг 3: Оценим функцию на границах отрезка
Теперь нам нужно оценить функцию на границах отрезка и в критической точке. Границы отрезка:
- \( x = -0.5 \)
- \( x = 4 \)
Посчитаем значение функции в этих точках.
1. Значение функции в критической точке \( x = -0.5 \):
\[ y(-0.5) = -4.5(-0.5)^2 - (-0.5)^3 + 11 \] \[ = -4.5(0.25) + 0.125 + 11 \] \[ = -1.125 + 0.125 + 11 \] \[ = 10 \]
2. Значение функции на правой границе \( x = 4 \):
\[ y(4) = -4.5(4)^2 - (4)^3 + 11 \] \[ = -4.5(16) - 64 + 11 \] \[ = -72 - 64 + 11 \] \[ = -125 \]
Шаг 4: Сравним значения
Теперь у нас есть значения функции на отрезке:
- \( y(-0.5) = 10 \)
- \( y(4) = -125 \)
На отрезке \([-0.5; 4]\) наибольшее значение функции достигается в точке \( x = -0.5 \), и равно:
\[ \boxed{10} \]
Таким образом, наибольшее значение функции \( y = -4.5x^2 - x^3 + 11 \) на отрезке \([-0.5; 4]\) составляет 10.
