Для решения задачи найдем наибольшее значение функции ( y = -4,5x^2 - x^3 + 11 ) на отрезке ([-0,5; 4]). Мы будем использовать методы анализа функции: найдем критические точки и оценки на границах отрезка.
Шаг 1: Найдем производную функции
Для начала найдём производную функции:
[
y' = \frac{d}{dx}(-4.5x^2 - x^3 + 11)
]
Используя правила дифференцирования, у нас получается:
[
y' = -9x - 4.5
]
Шаг 2: Найдем критические точки
Критические точки находятся там, где производная равна нулю:
[
-9x - 4.5 = 0
]
Решим это уравнение:
[
-9x = 4.5
]
[
x = -\frac{4.5}{9} = -0.5
]
Таким образом, у нас есть одна критическая точка ( x = -0.5 ).
Шаг 3: Оценим функцию на границах отрезка
Теперь нам нужно оценить функцию на границах отрезка и в критической точке. Границы отрезка:
- ( x = -0.5 )
- ( x = 4 )
Посчитаем значение функции в этих точках.
1. Значение функции в критической точке ( x = -0.5 ):
[
y(-0.5) = -4.5(-0.5)^2 - (-0.5)^3 + 11
]
[
= -4.5(0.25) + 0.125 + 11
]
[
= -1.125 + 0.125 + 11
]
[
= 10
]
2. Значение функции на правой границе ( x = 4 ):
[
y(4) = -4.5(4)^2 - (4)^3 + 11
]
[
= -4.5(16) - 64 + 11
]
[
= -72 - 64 + 11
]
[
= -125
]
Шаг 4: Сравним значения
Теперь у нас есть значения функции на отрезке:
- ( y(-0.5) = 10 )
- ( y(4) = -125 )
На отрезке ([-0.5; 4]) наибольшее значение функции достигается в точке ( x = -0.5 ), и равно:
[
\boxed{10}
]
Таким образом, наибольшее значение функции ( y = -4.5x^2 - x^3 + 11 ) на отрезке ([-0.5; 4]) составляет 10.
