Для того чтобы разложить выражение ( x^8 - x^3 ) на множители, следуем этим шагам:
Шаг 1: Вынесем общий множитель
Сначала нужно найти общий множитель в обоих членах. В данном случае, оба слагаемых имеют общий множитель ( x^3 ).
Так что мы можем вынести ( x^3 ) за скобки:
[
x^8 - x^3 = x^3(x^5 - 1)
]
Шаг 2: Разложим второй множитель
Теперь нужно разложить ( x^5 - 1 ). Это выражение является разностью степеней, и его можно разложить по формуле:
[
a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + ... + b^{n-1})
]
Где ( a = x ), ( b = 1 ) и ( n = 5 ). Таким образом, мы можем записать:
[
x^5 - 1 = (x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)
]
Шаг 3: Подставим в разложение
Теперь подставим это обратно в выражение, которое мы получили на Шаге 1:
[
x^8 - x^3 = x^3(x^5 - 1) = x^3(x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)
]
Ответ
В итоге, разложение на множители выражения ( x^8 - x^3 ) выглядит следующим образом:
[
x^8 - x^3 = x^3(x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)
]
Мы успешно разложили данное выражение!
