При каких значениях х верно равенство: 1) (3х+1)²=(х-6)² 2) (3х+4)²=4 (х+3) 3) 4(х+3)²=(2х+6)²
Давайте решим каждое из уравнений по шагам и подробно объясним процесс.
Задача 1: \( (3x + 1)^2 = (x - 6)^2 \)
Шаг 1: Раскроем скобки.
Используем формулу \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
\[ (3x + 1)^2 = 9x^2 + 6x + 1 \] \[ (x - 6)^2 = x^2 - 12x + 36 \]
Шаг 2: Приравняем правые части. Теперь у нас есть:
\[ 9x^2 + 6x + 1 = x^2 - 12x + 36 \]
Шаг 3: Приведем все члены к одной стороне. Вычтем \(x^2 - 12x + 36\) из обеих сторон:
\[ 9x^2 + 6x + 1 - x^2 + 12x - 36 = 0 \]
Упрощаем:
\[ 8x^2 + 18x - 35 = 0 \]
Шаг 4: Решим это квадратное уравнение.
Чтобы решить уравнение, используем формулу дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 18^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-35) \] \[ D = 324 + 1120 = 1444 \]
Шаг 5: Найдем корни.
Корни находятся по формуле:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-18 \pm 38}{16} \]
Корни:
- \(x_1 = \frac{20}{16} = \frac{5}{4}\)
- \(x_2 = \frac{-56}{16} = -\frac{7}{2}\)
Ответ: \( x = \frac{5}{4}, \, -\frac{7}{2} \)
Задача 2: \( (3x + 4)^2 = 4(x + 3) \)
Шаг 1: Раскроем скобки.
\[ (3x + 4)^2 = 9x^2 + 24x + 16 \] \[ 4(x + 3) = 4x + 12 \]
Шаг 2: Приравниваем правые части.
\[ 9x^2 + 24x + 16 = 4x + 12 \]
Шаг 3: Приведем все члены к одной стороне.
\[ 9x^2 + 24x + 16 - 4x - 12 = 0 \] \[ 9x^2 + 20x + 4 = 0 \]
Шаг 4: Найдем дискриминант.
\[ D = 20^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4 = 400 - 144 = 256 \]
Шаг 5: Найдем корни.
\[ x = \frac{-20 \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 9} = \frac{-20 \pm 16}{18} \]
Корни:
- \(x_1 = \frac{-4}{18} = -\frac{2}{9}\)
- \(x_2 = \frac{-36}{18} = -2\)
Ответ: \( x = -\frac{2}{9}, \, -2 \)
Задача 3: \( 4(x + 3)^2 = (2x + 6)^2 \)
Шаг 1: Раскроем скобки.
\[ 4(x + 3)^2 = 4(x^2 + 6x + 9) = 4x^2 + 24x + 36 \] \[ (2x + 6)^2 = 4x^2 + 24x + 36 \]
Шаг 2: Приравняем правые части.
\[ 4x^2 + 24x + 36 = 4x^2 + 24x + 36 \]
Мы видим, что обе части равны.
Шаг 3: Анализ.
Это равенство всегда верно.
Ответ: Все значения \( x \).
Пожалуйста, дайте мне знать, если у вас есть дополнительные вопросы или другой материал для разбора!
