Для того чтобы представить трёхчлен ( 25a^2 + 30ab + 9b^2 ) в виде произведения двух одинаковых множителей, мы можем попробовать разложить его на множители.
Шаг 1: Определим структуру трёхчлена
Запишем трёхчлен:
[
25a^2 + 30ab + 9b^2
]
Мы видим, что это квадратная форма, и можем попытаться представить его в виде полного квадрата. Полный квадрат имеет следующую форму:
[
(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
]
Шаг 2: Найдём подходящие ( x ) и ( y )
Для начала, напомним, что ( x^2 ) должно соответствовать первому члену, а ( y^2 ) — последнему. Таким образом, мы можем записать:
- ( x^2 = 25a^2 ) — отсюда ( x = 5a )
- ( y^2 = 9b^2 ) — отсюда ( y = 3b )
Теперь убедимся, что центральный член соответствует ( 2xy ):
[
2xy = 2(5a)(3b) = 30ab
]
Как мы видим, это действительно совпадает с центральным членом нашего трёхчлена.
Шаг 3: Запишем трёхчлен как полный квадрат
Теперь мы можем легко переписать трёхчлен:
[
25a^2 + 30ab + 9b^2 = (5a + 3b)^2
]
Шаг 4: Проверка
Чтобы убедиться, что мы правильно разложили трёхчлен, можем раскрыть скобки:
[
(5a + 3b)(5a + 3b) = 25a^2 + 15ab + 15ab + 9b^2 = 25a^2 + 30ab + 9b^2
]
Как видно, раскрыв скобки, мы получаем исходный трёхчлен.
Ответ
Таким образом, трёхчлен ( 25a^2 + 30ab + 9b^2 ) можно представить в виде произведения двух одинаковых множителей:
[
(5a + 3b)^2
]
