Давайте решим каждую задачу шаг за шагом.
Задача 1:
Дано:
Радиус основания циклиндра ( r = 3 ) см, высота ( h = 48 ) см.
Найти: Длину диагонали осевого сечения и острый угол ее наклона к плоскости основания.
Решение:
Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольный треугольник, где:
- один катет равен высоте ( h = 48 ) см,
- другой катет равен диаметру основания ( d = 2r = 2 \times 3 = 6 ) см.
Длину диагонали ( d ) можно найти по теореме Пифагора:
[
d = \sqrt{h^2 + (2r)^2} = \sqrt{48^2 + 6^2} = \sqrt{2304 + 36} = \sqrt{2340} \approx 48.4 \text{ см}
]
Острый угол ( \theta ) наклона диагонали к плоскости основания можно найти с помощью тангенса:
[
\tan \theta = \frac{\text{высота}}{\text{половина диаметра}} = \frac{h}{r} = \frac{48}{3} = 16
]
Таким образом,
[
\theta \approx \arctan(16) \approx 87.2^\circ
]
Задача 2:
Дано:
Длина диагонали осевого сечения ( d = 26 ) см, высота ( h = 24 ) см.
Найти: Площадь основания цилиндра и площадь полной поверхности цилиндра.
Решение:
Находим радиус основания. Используем теорему Пифагора для диагонали:
[
d^2 = h^2 + (2r)^2
]
Подставляем известные значения:
[
26^2 = 24^2 + (2r)^2 \implies 676 = 576 + (2r)^2 \implies (2r)^2 = 100 \implies 2r = 10 \implies r = 5 \text{ см}
]
Площадь основания ( S_{осн} = \pi r^2 ):
[
S_{осн} = \pi \cdot 5^2 = 25\pi \text{ см}^2
]
Площадя полной поверхности цилиндра:
[
S_{полн} = 2\pi r(h + r) = 2\pi \cdot 5 (24 + 5) = 2\pi \cdot 5 \cdot 29 = 290\pi \text{ см}^2
]
Задача 3:
Дано:
Радиус основания ( r = 13 ) см, высота ( h = 20 ) см.
Найти: Площадь сечения, проведенного параллельно оси цилиндра на расстоянии ( d = 5 ) см от нее.
Решение:
В цилиндре сечение параллельно оси будет кругом, и его радиус останется равным радиусу основания, ( r = 13 ) см.
Площадь сечения:
[
S_{сеч} = \pi r^2 = \pi \cdot 13^2 = 169\pi \text{ см}^2
]
Задача 4:
Дано:
Радиусы оснований усеченного конуса ( r_1 = 18 ) см и ( r_2 = 30 ) см, образующая ( l = 20 ) см.
Найти: Площадь осевого сечения.
Решение:
Площадь осевого сечения усеченного конуса — это трапеция с основаниями ( r_1 ) и ( r_2 ) и высотой, равной образующей:
[
S_{осев} = \frac{(r_1 + r_2) \cdot h}{2} = \frac{(18 + 30) \cdot 20}{2} = \frac{48 \cdot 20}{2} = 480 \text{ см}^2
]
Задача 5:
Дано:
Диаметр шара ( D = 40 ) см, расстояние от плоскости до центра ( h = 12 ) см.
Найти: a) площадь сечения; b) площадь сферы.
Решение:
Радиус шара ( r = \frac{D}{2} = 20 ) см. Площадь сечения — это круг радиуса:
[
r_s = \sqrt{r^2 - h^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16 \text{ см}
]
Площадь сечения:
[
S_{сеч} = \pi r_s^2 = \pi \cdot 16^2 = 256\pi \text{ см}^2
]
Площадь сферы:
[
S_{сферы} = 4\pi r^2 = 4\pi \cdot 20^2 = 1600\pi \text{ см}^2
]
Задача 6:
Дано:
Катеты прямоугольного треугольника ( a = 8 ) см и ( b = 45 ) см.
Найти: Площадь поверхности фигуры вращения вокруг оси, параллельной гипотенузе и проходящей через вершину прямого угла.
Решение:
Находим гипотенузу:
[
c = \sqrt{8^2 + 45^2} = \sqrt{64 + 2025} = \sqrt{2089} \approx 45.7 \text{ см}
]
Площадь поверхности вращения в данном случае рассчитывается по формуле:
[
S = \pi(a + b) \cdot c
]
Подставляя значения:
[
S = \pi (8 + 45) \cdot 45.7 \approx \pi \cdot 53 \cdot 45.7
]
[
S \approx 2418.1 \pi \text{ см}^2
]
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужны пояснения по какому-либо шагу, дайте знать!
