Чтобы найти наименьшее число последовательных натуральных чисел, начиная с 1, которые нужно сложить, чтобы сумма была больше 496, нам сначала нужно понять, какова формула суммы первых ( n ) натуральных чисел.
Формула суммы первых ( n ) натуральных чисел:
Сумма первых ( n ) чисел дается по формуле:
[
S = \frac{n(n + 1)}{2}
]
где ( S ) — это сумма, а ( n ) — количество первых натуральных чисел.
Теперь нам нужно найти такое ( n ), чтобы это значение суммы было больше 496:
[
\frac{n(n + 1)}{2} > 496
]
Давайте сначала множим обе стороны неравенства на 2, чтобы избавиться от дроби:
[
n(n + 1) > 992
]
Теперь это неравенство можно преобразовать так, чтобы найти ( n ). Рассмотрим его как квадратное уравнение:
[
n^2 + n - 992 > 0
]
Чтобы решить неравенство, найдем корни соответствующего квадратного уравнения:
[
n^2 + n - 992 = 0
]
Используем формулу корней квадратного уравнения:
[
n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 1, b = 1, c = -992 ). Подставляем:
[
n = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-992)}}{2 \cdot 1}
]
[
n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 3968}}{2}
]
[
n = \frac{-1 \pm \sqrt{3969}}{2}
]
[
n = \frac{-1 \pm 63}{2}
]
Теперь, вычисляем два возможных значения для ( n ):
- ( n = \frac{62}{2} = 31 )
- ( n = \frac{-64}{2} = -32 ) (это значение нам не нужно, так как оно отрицательное)
Теперь проверим:
Для ( n = 31 ):
[
S = \frac{31 \cdot 32}{2} = \frac{992}{2} = 496
]
Сумма равна 496, но нам нужно, чтобы она была больше.
Для ( n = 32 ):
[
S = \frac{32 \cdot 33}{2} = \frac{1056}{2} = 528
]
Сумма уже больше 496.
Таким образом, наименьшее число последовательных натуральных чисел, начиная с 1, которое нужно сложить, чтобы сумма была больше 496, равно 32.
