высилите десятый член арифметической прогрессии, если a2×a4=-3, a5-a3=-4, a3<0

Давайте решим задачу по нахождению десятого члена арифметической прогрессии (АП) на основании данных условий.

Мы знаем, что в арифметической прогрессии существуют следующие свойства:

1. Общий член AП можно выразить следующим образом:
   • a_n = a_1 + (n - 1)d, где a₁ — первый член, d — разность прогрессии.

Дано:

• \( a_2 \times a_4 = -3 \)
• \( a_5 - a_3 = -4 \)
• \( a_3 < 0 \)

Шаг 1: Запишем члены AП через a₁ и d

• \( a_2 = a_1 + d \)
• \( a_4 = a_1 + 3d \)
• \( a_3 = a_1 + 2d \)
• \( a_5 = a_1 + 4d \)

Шаг 2: Подставим значения в данное условие

1. Запишем первое условие: \[ a_2 \times a_4 = (a_1 + d)(a_1 + 3d) = -3 \] Раскроем скобки: \[ a_1^2 + 3a_1 d + a_1 d + 3d^2 = -3 \] \[ a_1^2 + 4a_1 d + 3d^2 + 3 = 0 \quad (1) \]

2. Второе условие: \[ a_5 - a_3 = (a_1 + 4d) - (a_1 + 2d) = 4d - 2d = 2d = -4 \] Это дает: \[ d = -2 \quad (2) \]

Шаг 3: Подставим значение d в первое уравнение

Подставим \( d = -2 \) в уравнение (1): \[ a_1^2 + 4a_1(-2) + 3(-2)^2 + 3 = 0 \] \[ a_1^2 - 8a_1 + 12 + 3 = 0 \] \[ a_1^2 - 8a_1 + 15 = 0 \]

Шаг 4: Найдем корни уравнения

Теперь решим квадратное уравнение: \[ a_1^2 - 8a_1 + 15 = 0 \] Это можно решить через дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4 \] Корни: \[ a_1 = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{8 \pm 2}{2} \] \[ a_1 = \frac{10}{2} = 5 \quad \text{или} \quad a_1 = \frac{6}{2} = 3 \]

Шаг 5: Найдем значение a₁ с учётом условия a₃ < 0

Теперь проверим, какое значение \( a_1 \) подходит под условие \( a_3 < 0 \):

• Если \( a_1 = 5 \): \[ a_3 = 5 + 2(-2) = 5 - 4 = 1 \quad (не меньше 0) \]

• Если \( a_1 = 3 \): \[ a_3 = 3 + 2(-2) = 3 - 4 = -1 \quad (меньше 0, подходит) \]

Таким образом, \( a_1 = 3 \) и \( d = -2 \).

Шаг 6: Найдем 10-й член арифметической прогрессии

Используя формулу \( a_n = a_1 + (n - 1)d \): \[ a_{10} = a_1 + 9d = 3 + 9(-2) = 3 - 18 = -15 \]

Ответ:

Десятый член арифметической прогрессии равен \( -15 \).