Для решения данной задачи нужно рассмотреть, как ведет себя заряд в последовательном контуре, состоящем из конденсатора и катушки (индуктивности) при свободных колебаниях.
Шаг 1: Понимание колебаний
При свободных колебаниях в LC-контуре (состоящем из катушки и конденсатора) заряд ( q(t) ) на конденсаторе изменяется с течением времени по синусоидальному закону. Начало отсчёта времени можно взять в момент ( t = 0 ), когда заряд на обкладках конденсатора равен ( +q ).
Шаг 2: Формула для заряда
Следует учесть, что заряд на конденсаторе изменяется по следующей формуле:
[
q(t) = q \cdot \cos\left(\frac{2\pi t}{T}\right)
]
где:
- ( q ) — максимальный заряд на конденсаторе,
- ( T ) — период колебаний.
Шаг 3: Условия для времени
Мы интересуемся моментом времени, когда заряд на одной из обкладок конденсатора станет равным ( -q ). Это происходит, когда косинус соответствует значению ( -1 ):
[
\cos\left(\frac{2\pi t}{T}\right) = -1
]
Это будет происходить при следующем условии:
[
\frac{2\pi t}{T} = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
]
Шаг 4: Решение для ( t )
Решим это уравнение для ( t ):
[
\frac{2\pi t}{T} = \pi \quad \Rightarrow \quad 2t = \frac{T}{2} \quad \Rightarrow \quad t = \frac{T}{2}
]
Шаг 5: Ответ
Таким образом, минимальное время, после которого заряд на одной из обкладок конденсатора станет равным ( -q ), составит:
Ответ: А) ( T/2 )
Заключение
Во время ( T/2 ) заряд на конденсаторе изменится от максимального положительного ((+q)) к максимальному отрицательному ((-q)). Каждый период ( T ) — это полный цикл колебаний, а следовательно, ( T/2 ) — это половина цикла, то есть момент, когда происходит смена знака.
