Для решения задачи определим некоторые обозначения:
- ( V_t ) — это скорость теплохода (в км/ч).
- ( V_c ) — это скорость течения (в км/ч).
Сформулируем систему уравнений на основе данных, предоставленных в задаче.
Шаг 1: Составим уравнения
Первое уравнение (1 час по течению и 5 часов против):
- По течению за 1 час теплоход пройдет ( V_t + V_c ) км.
- Против течения за 5 часов он пройдет ( 5(V_t - V_c) ) км.
- В сумме за этот период он прошел 148 км:
[
V_t + V_c + 5(V_t - V_c) = 148
]
Раскроем скобки:
[
V_t + V_c + 5V_t - 5V_c = 148
]
Объединим подобные:
[
6V_t - 4V_c = 148 \quad \text{(1)}
]
Второе уравнение (2 часа по течению и 3 часа против):
- По течению за 2 часа теплоход пройдет ( 2(V_t + V_c) ) км.
- Против течения за 3 часа он пройдет ( 3(V_t - V_c) ) км.
- В сумме за этот период он прошел 128 км:
[
2(V_t + V_c) + 3(V_t - V_c) = 128
]
Раскроем скобки:
[
2V_t + 2V_c + 3V_t - 3V_c = 128
]
Объединим подобные:
[
5V_t - V_c = 128 \quad \text{(2)}
]
Шаг 2: Система уравнений
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- ( 6V_t - 4V_c = 148 ) (1)
- ( 5V_t - V_c = 128 ) (2)
Шаг 3: Решение системы
Из уравнения (2) выразим ( V_c ):
[
V_c = 5V_t - 128 \quad \text{(3)}
]
Подставим (3) в (1):
[
6V_t - 4(5V_t - 128) = 148
]
Теперь раскроем скобки:
[
6V_t - 20V_t + 512 = 148
]
Объединим подобные:
[
-14V_t + 512 = 148
]
Переносим 512 через знак равенства:
[
-14V_t = 148 - 512
]
[
-14V_t = -364
]
Решим относительно ( V_t ):
[
V_t = \frac{364}{14} = 26 \quad \text{(скорость теплохода)}
]
Шаг 4: Найдем скорость течения
Теперь подставим найденное значение ( V_t ) в уравнение (3):
[
V_c = 5(26) - 128
]
[
V_c = 130 - 128 = 2 \quad \text{(скорость течения)}
]
Ответ
Таким образом, собственная скорость теплохода ( V_t = 26 ) км/ч, а скорость течения ( V_c = 2 ) км/ч.
