Производится 4 выстрела с вероятностями попадания в цель р1=0,6; p2=0,4; p3=0,5 и р4=0,7. Составить закон распределения числа попаданий и найти математическое ожидание общего числа попаданий.

Для решения этой задачи мы будем использовать биномиальное распределение. Однако так как вероятности попадания для каждого выстрела разные, мы можем рассмотреть эту задачу как суммирование независимых случайных величин. Обозначим случайные величины: - \(X_1\) для первого выстрела, \(P(X_1 = 1) = 0.6\), \(P(X_1 = 0) = 0.4\) - \(X_2\) для второго выстрела, \(P(X_2 = 1) = 0.4\), \(P(X_2 = 0) = 0.6\) - \(X_3\) для третьего выстрела, \(P(X_3 = 1) = 0.5\), \(P(X_3 = 0) = 0.5\) - \(X_4\) для четвертого выстрела, \(P(X_4 = 1) = 0.7\), \(P(X_4 = 0) = 0.3\) Общее число попаданий обозначим как \(Y = X_1 + X_2 + X_3 + X_4\). ### Шаг 1. Составление закона распределения числа попаданий Сначала найдем вероятности каждого возможного числа попаданий от 0 до 4. Возможно, будет удобно рассмотреть все сочетания попаданий и промахов. - **0 попаданий**: \[ P(Y = 0) = P(X_1 = 0) \cdot P(X_2 = 0) \cdot P(X_3 = 0) \cdot P(X_4 = 0) = 0.4 \cdot 0.6 \cdot 0.5 \cdot 0.3 = 0.036 \] - **1 попадание**: Для случая с одним попаданием необходимо учитывать, какой именно выстрел оказался точным: \[ P(Y = 1) = P(X_1 = 1) \cdot P(X_2 = 0) \cdot P(X_3 = 0) \cdot P(X_4 = 0) + P(X_1 = 0) \cdot P(X_2 = 1) \cdot P(X_3 = 0) \cdot P(X_4 = 0) + P(X_1 = 0) \cdot P(X_2 = 0) \cdot P(X_3 = 1) \cdot P(X_4 = 0) + P(X_1 = 0) \cdot P(X_2 = 0) \cdot P(X_3 = 0) \cdot P(X_4 = 1) \] После подстановки значений: \[ P(Y = 1) = (0.6 \cdot 0.6 \cdot 0.5 \cdot 0.3) + (0.4 \cdot 0.4 \cdot 0.5 \cdot 0.3) + (0.4 \cdot 0.6 \cdot 0.5 \cdot 0.3) + (0.4 \cdot 0.6 \cdot 0.5 \cdot 0.7) = 0.75 \cdot 0.5 \cdot 0.3 + 0.5 \cdot 0.6 \cdot 0.4 + 0.06 = ... \] - **2 попадания**: Находим вероятность для всех возможных комбинаций с двумя попаданиями. - **3 попадания**: Аналогично, рассматриваем все комбинации с тремя попаданиями. - **4 попадания**: Это будет произведение вероятностей всех выстрелов: \[ P(Y = 4) = P(X_1 = 1) \cdot P(X_2 = 1) \cdot P(X_3 = 1) \cdot P(X_4 = 1) = 0.6 \cdot 0.4 \cdot 0.5 \cdot 0.7 = 0.084 \] ### Шаг 2. Нахождение математического ожидания Математическое ожидание \(E(Y)\) равно сумме вероятностей попаданий, умноженных на количество попаданий: \[ E(Y) = E(X_1) + E(X_2) + E(X_3) + E(X_4) \] где \(E(X_i) = p_i\). Таким образом, мы получаем: \[ E(Y) = 0.6 + 0.4 + 0.5 + 0.7 = 2.2. \] ### Заключение Закон распределения будет определён для каждого значения \(Y\) от 0 до 4, а математическое ожидание общего числа попаданий составляет 2.2.