Производится 4 выстрела с вероятностями попадания в цель р1=0,6; p2=0,4; p3=0,5 и р4=0,7. Составить закон распределения числа попаданий и найти математическое ожидание общего…
Производится 4 выстрела с вероятностями попадания в цель р1=0,6; p2=0,4; p3=0,5 и р4=0,7. Составить закон распределения числа попаданий и найти математическое ожидание общего числа попаданий.
Для решения задачи сначала определим, какой закон распределения мы можем использовать для случайного числа попаданий. В данной ситуации мы имеем 4 независимых выстрела с разными вероятностями попадания.
Обозначим:
- X - количество попаданий.
Можно рассмотреть X как сумму четырех независимых случайных величин:
- \( X_1 \) - 1, если попал в цель при первом выстреле, и 0, если промахнулся;
- \( X_2 \) - 1, если попал в цель при втором выстреле, и 0, если промахнулся;
- \( X_3 \) - 1, если попал в цель при третьем выстреле, и 0, если промахнулся;
- \( X_4 \) - 1, если попал в цель при четвертом выстреле, и 0, если промахнулся.
Тогда:
- \( X_1 \) имеет \( p_1 = 0.6 \),
- \( X_2 \) имеет \( p_2 = 0.4 \),
- \( X_3 \) имеет \( p_3 = 0.5 \),
- \( X_4 \) имеет \( p_4 = 0.7 \).
Таким образом, математическое ожидание числа попаданий можно вычислить, используя линейность математического ожидания:
\[ E(X) = E(X_1) + E(X_2) + E(X_3) + E(X_4) \]
Для каждой \( X_i \): \[ E(X_i) = p_i \] Следовательно: \[ E(X_1) = 0.6, \] \[ E(X_2) = 0.4, \] \[ E(X_3) = 0.5, \] \[ E(X_4) = 0.7. \]
Теперь суммируем: \[ E(X) = 0.6 + 0.4 + 0.5 + 0.7 = 2.2. \]
Теперь составим закон распределения для X.
Число попаданий \( X \) может принимать значения 0, 1, 2, 3 или 4. Точно посчитать вероятности можно, используя биномиальное распределение и комбинаторику. Однако, поскольку в данном случае вероятности разные, мы можем воспользоваться методом перебора всех возможных вариантов.
Вероятности для каждого значения X:
Для \( X = 0 \) (промахи): \[ P(X=0) = (1 - p_1)(1 - p_2)(1 - p_3)(1 - p_4) = (0.4)(0.6)(0.5)(0.3) = 0.036. \]
Для \( X = 1 \): Считаем для каждого возможного попадания: \[ P(X=1) = p_1(1-p_2)(1-p_3)(1-p_4) + (1-p_1)p_2(1-p_3)(1-p_4) + (1-p_1)(1-p_2)p_3(1-p_4) + (1-p_1)(1-p_2)(1-p_3)p_4 \] \[ = (0.6)(0.6)(0.5)(0.3) + (0.4)(0.4)(0.5)(0.3) + (0.4)(0.6)(0.5)(0.3) + (0.4)(0.6)(0.5)(0.3) = 0.216 + 0.072 + 0.072 + 0.072 = 0.432. \]
Для \( X = 2 \): \[ P(X=2) = p_1 p_2 (1 - p_3)(1 - p_4) + p_1 (1 - p_2) p_3 (1 - p_4) + p_1 (1 - p_2)(1 - p_3)p_4 + (1 - p_1) p_2 p_3 (1 - p_4) + ... \text{(и так далее)} \]
Эти расчеты можно продолжать для \( X = 3 \) и \( X = 4 \), чтобы получить полный закон распределения.
Таким образом, распределение случайной величины X можно представить как таблицу, в которой будут указаны вероятности для всех значений от 0 до 4. Математическое ожидание, как мы уже подсчитали, равно 2.2.
