Выделив полный квадрат, найдите наибольшее значение выражения 10(4х-4)-16(х-1)(х+1)

Для того чтобы найти наибольшее значение выражения \( 10(4x-4) - 16(x-1)(x+1) \), сначала давайте упростим это выражение, а затем найдем его максимальное значение. 1. **Упростим выражение.** Начнем с раскрытия скобок. \[ 10(4x-4) = 40x - 40 \] Теперь откроем второе выражение \( -16(x-1)(x+1) \). Используя формулу разности квадратов: \[ (x-1)(x+1) = x^2 - 1 \] Значит: \[ -16(x-1)(x+1) = -16(x^2 - 1) = -16x^2 + 16 \] Теперь подставим упрощенные выражения обратно: \[ 40x - 40 - 16x^2 + 16 = -16x^2 + 40x - 24 \] Итак, теперь у нас есть квадратное уравнение: \[ f(x) = -16x^2 + 40x - 24 \] 2. **Найдем координаты вершины параболы.** Парабола имеет уравнение вида \( ax^2 + bx + c \), где \( a = -16 \), \( b = 40 \), и \( c = -24 \). Вершина параболы, где находится наибольшее значение (так как \( a < 0 \)), вычисляется по формуле: \[ x = -\frac{b}{2a} \] Подставим значения \( a \) и \( b \): \[ x = -\frac{40}{2(-16)} = \frac{40}{32} = \frac{5}{4} \] 3. **Найдем максимальное значение функции.** Подставляем найденное \( x \) обратно в выражение: \[ f\left(\frac{5}{4}\right) = -16\left(\frac{5}{4}\right)^2 + 40\left(\frac{5}{4}\right) - 24 \] Сначала найдем \( \left(\frac{5}{4}\right)^2 \): \[ \left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{16} \] Теперь подставим это значение в функцию: \[ f\left(\frac{5}{4}\right) = -16\left(\frac{25}{16}\right) + 40\left(\frac{5}{4}\right) - 24 \] Упрощая: \[ = -25 + 50 - 24 = 1 \] Так, максимальное значение выражения \( 10(4x-4) - 16(x-1)(x+1) \) равно \( 1 \).