Выделив полный квадрат, найдите наибольшее значение выражения 10(4х-4)-16(х-1)(х+1)
Для того чтобы найти наибольшее значение выражения \( 10(4x-4) - 16(x-1)(x+1) \), сначала давайте упростим это выражение, а затем найдем его максимальное значение.
Упростим выражение. Начнем с раскрытия скобок.
\[ 10(4x-4) = 40x - 40 \]
Теперь откроем второе выражение \( -16(x-1)(x+1) \). Используя формулу разности квадратов:
\[ (x-1)(x+1) = x^2 - 1 \]
Значит:
\[ -16(x-1)(x+1) = -16(x^2 - 1) = -16x^2 + 16 \]
Теперь подставим упрощенные выражения обратно:
\[ 40x - 40 - 16x^2 + 16 = -16x^2 + 40x - 24 \]
Итак, теперь у нас есть квадратное уравнение:
\[ f(x) = -16x^2 + 40x - 24 \]
Найдем координаты вершины параболы. Парабола имеет уравнение вида \( ax^2 + bx + c \), где \( a = -16 \), \( b = 40 \), и \( c = -24 \). Вершина параболы, где находится наибольшее значение (так как \( a < 0 \)), вычисляется по формуле:
\[ x = -\frac{b}{2a} \]
Подставим значения \( a \) и \( b \):
\[ x = -\frac{40}{2(-16)} = \frac{40}{32} = \frac{5}{4} \]
Найдем максимальное значение функции. Подставляем найденное \( x \) обратно в выражение:
\[ f\left(\frac{5}{4}\right) = -16\left(\frac{5}{4}\right)^2 + 40\left(\frac{5}{4}\right) - 24 \]
Сначала найдем \( \left(\frac{5}{4}\right)^2 \):
\[ \left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{16} \]
Теперь подставим это значение в функцию:
\[ f\left(\frac{5}{4}\right) = -16\left(\frac{25}{16}\right) + 40\left(\frac{5}{4}\right) - 24 \]
Упрощая:
\[ = -25 + 50 - 24 = 1 \]
Так, максимальное значение выражения \( 10(4x-4) - 16(x-1)(x+1) \) равно \( 1 \).
