Подробно реши задачу с объяснением: бассейн может наполняться через три трубы если будут открыты первая и вторая тромба, бассейн наполнится за 18 часов. Если открыта вторая и…

Решим эту задачу шаг за шагом, чтобы понять, как рассчитать, за сколько времени бассейн наполнится при открытых всех трёх трубах.

Обозначим:

• \( A \) — время, за которое первая труба наполнит бассейн.
• \( B \) — время, за которое вторая труба наполнит бассейн.
• \( C \) — время, за которое третья труба наполнит бассейн.

Из условия задачи мы имеем следующую информацию:

1. Когда открыты первая и вторая трубы, бассейн наполняется за 18 часов. Это значит, что работа этих двух труб в час составляет:
   \( \frac{1}{A} + \frac{1}{B} = \frac{1}{18} \) (1)

2. Когда открыты вторая и третья трубы, бассейн наполняется за 20 часов:
   \( \frac{1}{B} + \frac{1}{C} = \frac{1}{20} \) (2)

3. Когда открыты первая и третья трубы, бассейн наполняется за 30 часов:
   \( \frac{1}{A} + \frac{1}{C} = \frac{1}{30} \) (3)

Теперь у нас есть три уравнения. Решим их шаг за шагом.

Сначала выразим \( \frac{1}{A} \), \( \frac{1}{B} \) и \( \frac{1}{C} \) из этих уравнений.

Шаг 1. Решим первое уравнение для \(\frac{1}{A}\):

Из (1): \[ \frac{1}{A} + \frac{1}{B} = \frac{1}{18} \]

Шаг 2. Выразим \(\frac{1}{A}\):

\[ \frac{1}{A} = \frac{1}{18} - \frac{1}{B} \quad (4) \]

Шаг 3. Решим второе уравнение:

Из (2): \[ \frac{1}{B} + \frac{1}{C} = \frac{1}{20} \]

Шаг 4. Выразим \(\frac{1}{C}\):

\[ \frac{1}{C} = \frac{1}{20} - \frac{1}{B} \quad (5) \]

Шаг 5. Решим третье уравнение:

Из (3): \[ \frac{1}{A} + \frac{1}{C} = \frac{1}{30} \]

Подставим \( \frac{1}{A} \) и \(\frac{1}{C}\):

Подставим (4) и (5) в (3):

\[ \left(\frac{1}{18} - \frac{1}{B}\right) + \left(\frac{1}{20} - \frac{1}{B}\right) = \frac{1}{30} \]

Шаг 6. Упростим уравнение:

\[ \frac{1}{18} + \frac{1}{20} - \frac{2}{B} = \frac{1}{30} \]

Теперь найдем общий знаменатель для дробей \( \frac{1}{18} \), \( \frac{1}{20} \) и \( \frac{1}{30} \). Общий знаменатель равен 180:

\[ \frac{10}{180} + \frac{9}{180} - \frac{2}{B} = \frac{6}{180} \]

Шаг 7. Умножим все на 180:

\[ 10 + 9 - \frac{360}{B} = 6 \]

Шаг 8. Упростим:

\[ 19 - 6 = \frac{360}{B} \] \[ 13 = \frac{360}{B} \]

Шаг 9. Найдем \( B \):

Умножаем обе стороны на \( B \): \[ 13B = 360 \] \[ B = \frac{360}{13} \approx 27.69 \]

Шаг 10. Найдем \(\frac{1}{A}\):

Теперь подставим значение \( B \) в (4): \[ \frac{1}{A} = \frac{1}{18} - \frac{1}{27.69} \]

Шаг 11. Найдем общий знаменатель и вычислим:

Вычислим \( \frac{1}{A} \): \[ \frac{1}{18} \approx 0.0556, \quad \frac{1}{27.69} \approx 0.0361 \] \[ \frac{1}{A} \approx 0.0556 - 0.0361 = 0.0195 \]

Шаг 12. Найдем \( A \):

\[ A \approx \frac{1}{0.0195} \approx 51.28 \]

Шаг 13. Найдем \(\frac{1}{C}\):

Подставляем \( B \) в (5): \[ \frac{1}{C} = \frac{1}{20} - \frac{1}{27.69} \]

Рассчитаем: \[ \frac{1}{20} \approx 0.05, \quad \frac{1}{27.69} \approx 0.0361 \] \[ \frac{1}{C} \approx 0.05 - 0.0361 = 0.0139 \]

Шаг 14. Найдем \( C \):

\[ C \approx \frac{1}{0.0139} \approx 72 \]

Шаг 15. Найдем общее время при открытых всех трех трубах:

Теперь подставим \( A \), \( B \) и \( C\) в формулу для нахождения времени, когда открыты все три трубы:

\[ \frac{1}{T} = \frac{1}{A} + \frac{1}{B} + \frac{1}{C} \]

Подсчитаем:

\[ \frac{1}{T} \approx \frac{1}{51.28} + \frac{1}{27.69} + \frac{1}{72} \]

Подсчитаем значения: \[ \frac{1}{51.28} \approx 0.0195, \quad \frac{1}{27.69} \approx 0.0361, \quad \frac{1}{72} \approx 0.0139 \] \[ \frac{1}{T} \approx 0.0195 + 0.0361 + 0.0139 = 0.0695 \]

Найдем \( T \):

\[ T \approx \frac{1}{0.0695} \approx 14.4 \]

Ответ:

Таким образом, если будут открыты все три трубы, бассейн наполнится примерно за 14.4 часа.