C 10 4 ​ −C 9 6 ​

Давайте разберем данное выражение: \( C^{10}_{4} - C^{9}_{6} \). Здесь \( C^{n}_{k} \) обозначает биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле: \[ C^{n}_{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \] где \( n! \) — факториал числа \( n \) (произведение всех натуральных чисел от 1 до \( n \)), а \( k! \) и \( (n-k)! \) — факториалы чисел \( k \) и \( n-k \) соответственно. ### Шаг 1: Найдем \( C^{10}_{4} \) Подставим в формулу: \[ C^{10}_{4} = \frac{10!}{4! \cdot (10-4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} \] Теперь посчитаем факториалы: - \( 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6! \) (так как \( 6! \) сокращается) - \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \) - \( 6! \) не нужно рассчитывать, так как оно сокращается. Теперь подставим: \[ C^{10}_{4} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{24} \] Посчитаем числитель: \[ 10 \times 9 = 90 \] \[ 90 \times 8 = 720 \] \[ 720 \times 7 = 5040 \] Теперь подставим в формулу: \[ C^{10}_{4} = \frac{5040}{24} = 210 \] ### Шаг 2: Найдем \( C^{9}_{6} \) Теперь найдём второй биномиальный коэффициент: \[ C^{9}_{6} = \frac{9!}{6! \cdot (9-6)!} = \frac{9!}{6! \cdot 3!} \] Также упростим: - \( 9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6! \) Сокращаем \( 6! \): \[ C^{9}_{6} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3!} \] Теперь посчитаем \( 3! \): \[ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \] Таким образом: \[ C^{9}_{6} = \frac{9 \times 8 \times 7}{6} \] В числителе: \[ 9 \times 8 = 72 \] \[ 72 \times 7 = 504 \] Теперь подставим: \[ C^{9}_{6} = \frac{504}{6} = 84 \] ### Шаг 3: Выполним окончательное вычисление Теперь, когда мы нашли оба коэффициента, можем подставить их обратно в исходное выражение: \[ C^{10}_{4} - C^{9}_{6} = 210 - 84 = 126 \] ### Ответ Итак, итоговое значение: \[ C^{10}_{4} - C^{9}_{6} = 126 \]