C 10 4 ​ −C 9 6 ​

Давайте разберем данное выражение: \( C^{10}_{4} - C^{9}_{6} \). Здесь \( C^{n}_{k} \) обозначает биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле:

\[ C^{n}_{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \]

где \( n! \) — факториал числа \( n \) (произведение всех натуральных чисел от 1 до \( n \)), а \( k! \) и \( (n-k)! \) — факториалы чисел \( k \) и \( n-k \) соответственно.

Шаг 1: Найдем \( C^{10}_{4} \)

Подставим в формулу:

\[ C^{10}_{4} = \frac{10!}{4! \cdot (10-4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} \]

Теперь посчитаем факториалы:

• \( 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6! \) (так как \( 6! \) сокращается)
• \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \)
• \( 6! \) не нужно рассчитывать, так как оно сокращается.

Теперь подставим:

\[ C^{10}_{4} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{24} \]

Посчитаем числитель:

\[ 10 \times 9 = 90 \] \[ 90 \times 8 = 720 \] \[ 720 \times 7 = 5040 \]

Теперь подставим в формулу:

\[ C^{10}_{4} = \frac{5040}{24} = 210 \]

Шаг 2: Найдем \( C^{9}_{6} \)

Теперь найдём второй биномиальный коэффициент:

\[ C^{9}_{6} = \frac{9!}{6! \cdot (9-6)!} = \frac{9!}{6! \cdot 3!} \]

Также упростим:

• \( 9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6! \)

Сокращаем \( 6! \):

\[ C^{9}_{6} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3!} \]

Теперь посчитаем \( 3! \):

\[ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \]

Таким образом:

\[ C^{9}_{6} = \frac{9 \times 8 \times 7}{6} \]

В числителе:

\[ 9 \times 8 = 72 \] \[ 72 \times 7 = 504 \]

Теперь подставим:

\[ C^{9}_{6} = \frac{504}{6} = 84 \]

Шаг 3: Выполним окончательное вычисление

Теперь, когда мы нашли оба коэффициента, можем подставить их обратно в исходное выражение:

\[ C^{10}_{4} - C^{9}_{6} = 210 - 84 = 126 \]

Ответ

Итак, итоговое значение:

\[ C^{10}_{4} - C^{9}_{6} = 126 \]