Ванна заполняется холодной водой за 6 мин 40 с, горячей – за 8 мин. Если из полной ванны вынуть пробку, то вода вытечет за 13 мин 20 с. За какое время ванна наполнится, если оба…

Для решения этой задачи начнем с преобразования всех временных интервалов в секунды для более удобных вычислений.

1. Время заполнения ванных кранов:

   • Холодная вода: 6 мин 40 с = 6 * 60 + 40 = 400 с
   • Горячая вода: 8 мин = 8 * 60 = 480 с

2. Время вытекания воды из ванны:

   • 13 мин 20 с = 13 * 60 + 20 = 800 с

3. Скорость заполнения кранами:

   • Скорость холодного крана: \[ \text{Скорость холодного крана} = \frac{1 \text{ ванна}}{400 \text{ с}} = \frac{1}{400} \text{ ванн/с} \]
   • Скорость горячего крана: \[ \text{Скорость горячего крана} = \frac{1 \text{ ванна}}{480 \text{ с}} = \frac{1}{480} \text{ ванн/с} \]

4. Общая скорость заполнения двух кранов:

   • Сложим скорости холодного и горячего крана: \[ \text{Общая скорость заполнения} = \frac{1}{400} + \frac{1}{480} \]
   • Найдем общий дробь: \[ \text{Общая скорость заполнения} = \frac{1 \cdot 480 + 1 \cdot 400}{400 \cdot 480} = \frac{480 + 400}{192000} = \frac{880}{192000} = \frac{11}{2400} \text{ ванн/с} \]

5. Скорость вытекания:

   • Вытекание воды из ванны: \[ \text{Скорость вытекания} = \frac{1 \text{ ванна}}{800 \text{ с}} = \frac{1}{800} \text{ ванн/с} \]

6. Общая скорость при открытых кранах и отверстии:

   • Общая скорость, когда оба крана открыты и вода вытекает: \[ \text{Итоговая скорость} = \text{Общая скорость заполнения} - \text{Скорость вытекания} \]
   • Подставим значения: \[ \text{Итоговая скорость} = \frac{11}{2400} - \frac{1}{800} \]
   • Приведем дробь \(\frac{1}{800}\) к общему знаменателю 2400: \[ \frac{1}{800} = \frac{3}{2400} \]
   • Теперь можем вычесть: \[ \text{Итоговая скорость} = \frac{11}{2400} - \frac{3}{2400} = \frac{8}{2400} = \frac{1}{300} \text{ ванн/с} \]

7. Время заполнения ванны при данной скорости:

   • Время, необходимое для заполнения одной ванны: \[ t = \frac{1 \text{ ванна}}{\frac{1}{300} \text{ ванн/с}} = 300 \text{ с} \]

8. Преобразуем время в минуты и секунды:

   • 300 с = 5 мин

Таким образом, ванна наполнится за 5 минут, если оба крана открыты, и пробка не закрыта.