lim_х-›0 √(х+49)–7/х
Для решения предела \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+49} - 7}{x}\), следуем следующему пошаговому процессу:
Подстановка предела:
Сначала подставим \(x = 0\) в выражение:\[ \frac{\sqrt{0 + 49} - 7}{0} = \frac{7 - 7}{0} = \frac{0}{0} \]
Это неопределенность, и значит, нам нужно использовать другой метод для нахождения предела.
Умножение на сопряженное:
Чтобы избавиться от неопределенности, мы можем умножить и разделить на сопряженное выражение:\[ \frac{\sqrt{x + 49} - 7}{x} \cdot \frac{\sqrt{x + 49} + 7}{\sqrt{x + 49} + 7} \]
Это приводит к следующему:
\[ \frac{(\sqrt{x + 49} - 7)(\sqrt{x + 49} + 7)}{x(\sqrt{x + 49} + 7)} \]
По формуле разности квадратов \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\):
\[ = \frac{(x + 49) - 49}{x(\sqrt{x + 49} + 7)} = \frac{x}{x(\sqrt{x + 49} + 7)} \]
Теперь упростим это выражение:
\[ = \frac{1}{\sqrt{x + 49} + 7} \]
Вычисление предела:
Теперь мы можем снова взять предел, подставив \(x = 0\):\[ \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + 49} + 7} = \frac{1}{\sqrt{0 + 49} + 7} = \frac{1}{7 + 7} = \frac{1}{14} \]
Ответ:
Таким образом, предел:\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 49} - 7}{x} = \frac{1}{14} \]
Это решение показывает, как использовать математические приемы, такие как умножение на сопряженное, для нахождения предела, когда первоначальная подстановка приводит к неопределенности.
