Lim_х-›0 √(х+49)–7/х

Для решения предела \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+49} - 7}{x}\), следуем следующему пошаговому процессу: 1. **Подстановка предела:** Сначала подставим \(x = 0\) в выражение: \[ \frac{\sqrt{0 + 49} - 7}{0} = \frac{7 - 7}{0} = \frac{0}{0} \] Это неопределенность, и значит, нам нужно использовать другой метод для нахождения предела. 2. **Умножение на сопряженное:** Чтобы избавиться от неопределенности, мы можем умножить и разделить на сопряженное выражение: \[ \frac{\sqrt{x + 49} - 7}{x} \cdot \frac{\sqrt{x + 49} + 7}{\sqrt{x + 49} + 7} \] Это приводит к следующему: \[ \frac{(\sqrt{x + 49} - 7)(\sqrt{x + 49} + 7)}{x(\sqrt{x + 49} + 7)} \] По формуле разности квадратов \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\): \[ = \frac{(x + 49) - 49}{x(\sqrt{x + 49} + 7)} = \frac{x}{x(\sqrt{x + 49} + 7)} \] Теперь упростим это выражение: \[ = \frac{1}{\sqrt{x + 49} + 7} \] 3. **Вычисление предела:** Теперь мы можем снова взять предел, подставив \(x = 0\): \[ \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + 49} + 7} = \frac{1}{\sqrt{0 + 49} + 7} = \frac{1}{7 + 7} = \frac{1}{14} \] 4. **Ответ:** Таким образом, предел: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 49} - 7}{x} = \frac{1}{14} \] Это решение показывает, как использовать математические приемы, такие как умножение на сопряженное, для нахождения предела, когда первоначальная подстановка приводит к неопределенности.