Для решения этой задачи мы воспользуемся комбинациями, так как порядок, в котором мы выбираем людей, не важен. Мы ищем количество способов выбрать 5 человек из 12.
Формула для расчета количества комбинаций (\binom{n}{k}) (число способов выбрать (k) элементов из (n)) выглядит следующим образом:
[
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
где (n!) (факториал (n)) — это произведение всех положительных целых чисел от 1 до (n).
В нашем случае:
- (n = 12) (общее количество человека в бригаде)
- (k = 5) (количество людей в звене)
Теперь подставим значения в формулу:
[
\binom{12}{5} = \frac{12!}{5!(12-5)!} = \frac{12!}{5! \cdot 7!}
]
Теперь вычислим факториалы:
- (12! = 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7!)
- (5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120)
- (7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) (но оно у нас сократится)
Теперь подставим это в формулу:
[
\binom{12}{5} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{120}
]
Теперь будем выполнять умножение:
- (12 \times 11 = 132)
- (132 \times 10 = 1320)
- (1320 \times 9 = 11880)
- (11880 \times 8 = 95040)
Теперь делим на (120):
[
\frac{95040}{120} = 792
]
Таким образом, количество способов составить звено из 5 человек из 12 составляет:
[
\boxed{792}
]
