Реши все задания

Конечно, давайте разберём каждое из заданий по порядку.

1. Вычислите пределы функции:

a) \(\lim_{x \to 3}\frac{5x-8}{x-3}\)

Для вычисления этого предела можно использовать способ алгебраического преобразования. Подставим \(x = 3\) в функцию:

• Числитель: \(5 \times 3 - 8 = 15 - 8 = 7\).
• Знаменатель: \(3 - 3 = 0\).

Здесь возникает неопределенность. Для её устранения следует попробовать упростить выражение.

Перепишем \(\frac{5x - 8}{x - 3}\) как \(\frac{5(x - 3) + 7}{x - 3}\). Можно заметить, что:

\[ \frac{5(x - 3) + 7}{x - 3} = \frac{5(x-3)}{x-3} + \frac{7}{x-3} = 5 + \frac{7}{x-3} \]

Таким образом, предел не существует, т.к. выражение стремится к бесконечности.

b) \(\lim_{x \to 2}\frac{x^2-3x-7}{x-2}\)

Подставим \(x = 2\) в функцию:

• Числитель: \(2^2 - 3 \times 2 - 7 = 4 - 6 - 7 = -9\).
• Знаменатель: \(2 - 2 = 0\).

Возникает неопределенность. Для её устранения попробуем разложить числитель на множители и упростить: \[ x^2 - 3x - 7 = (x-4)(x+1) + 1 \]

Однако, остаётся \( \frac{1}{x-2} \), следовательно, также стремится к бесконечности.

2. Найдите производную функции: \( y = 3x^3 - 4.5x^2 - 4x + 6 \)

Используем стандартные правила дифференцирования:

\[\frac{dy}{dx} = 9x^2 - 9x - 4\]

3. Материальная точка движется прямолинейно по закону \(s(t) = 19t - 3t^2 + 2\), где \(s(t)\) – путь в метрах, \(t\) – время в секундах. Найдите мгновенную скорость \(v(t)\) и ускорение \(a(t)\) в момент времени \(t = 5\ с\).

• Скорость \(v(t) = \frac{ds}{dt} = 19 - 6t\).
• Ускорение \(a(t) = \frac{dv}{dt} = -6\).

Теперь найдём значения в момент времени \(t = 5\):

• \(v(5) = 19 - 6 \times 5 = 19 - 30 = -11\ м/с\).
• \(a(5) = -6\ м/с^2\).

4. Дан функция \(y = 3x^2 - 2x\).

a) Найдите производную:

\(\frac{dy}{dx} = 6x - 2\).

b) Составьте уравнение касательной в точке \(x = 2\).

Для этого найдём точку, через которую проходит касательная:

• \(y = 3(2)^2 - 2 \times 2 = 12 - 4 = 8\).

Угол наклона касательной равен значению производной в точке:

• \(\frac{dy}{dx} = 6 \times 2 - 2 = 12 - 2 = 10\).

Уравнение касательной:

• \(y - 8 = 10(x - 2)\),
• \(y = 10x - 20 + 8\),
• \(y = 10x - 12\).

Надеюсь, это объяснение было полезным!