Реши все задания

Конечно, давайте разберём каждое из заданий по порядку. **1. Вычислите пределы функции:** a) \(\lim_{x \to 3}\frac{5x-8}{x-3}\) Для вычисления этого предела можно использовать способ алгебраического преобразования. Подставим \(x = 3\) в функцию: - Числитель: \(5 \times 3 - 8 = 15 - 8 = 7\). - Знаменатель: \(3 - 3 = 0\). Здесь возникает неопределенность. Для её устранения следует попробовать упростить выражение. Перепишем \(\frac{5x - 8}{x - 3}\) как \(\frac{5(x - 3) + 7}{x - 3}\). Можно заметить, что: \[ \frac{5(x - 3) + 7}{x - 3} = \frac{5(x-3)}{x-3} + \frac{7}{x-3} = 5 + \frac{7}{x-3} \] Таким образом, предел не существует, т.к. выражение стремится к бесконечности. b) \(\lim_{x \to 2}\frac{x^2-3x-7}{x-2}\) Подставим \(x = 2\) в функцию: - Числитель: \(2^2 - 3 \times 2 - 7 = 4 - 6 - 7 = -9\). - Знаменатель: \(2 - 2 = 0\). Возникает неопределенность. Для её устранения попробуем разложить числитель на множители и упростить: \[ x^2 - 3x - 7 = (x-4)(x+1) + 1 \] Однако, остаётся \( \frac{1}{x-2} \), следовательно, также стремится к бесконечности. **2. Найдите производную функции: \( y = 3x^3 - 4.5x^2 - 4x + 6 \)** Используем стандартные правила дифференцирования: \[\frac{dy}{dx} = 9x^2 - 9x - 4\] **3. Материальная точка движется прямолинейно по закону \(s(t) = 19t - 3t^2 + 2\), где \(s(t)\) – путь в метрах, \(t\) – время в секундах. Найдите мгновенную скорость \(v(t)\) и ускорение \(a(t)\) в момент времени \(t = 5\ с\).** - Скорость \(v(t) = \frac{ds}{dt} = 19 - 6t\). - Ускорение \(a(t) = \frac{dv}{dt} = -6\). Теперь найдём значения в момент времени \(t = 5\): - \(v(5) = 19 - 6 \times 5 = 19 - 30 = -11\ м/с\). - \(a(5) = -6\ м/с^2\). **4. Дан функция \(y = 3x^2 - 2x\).** a) Найдите производную: \(\frac{dy}{dx} = 6x - 2\). b) Составьте уравнение касательной в точке \(x = 2\). Для этого найдём точку, через которую проходит касательная: - \(y = 3(2)^2 - 2 \times 2 = 12 - 4 = 8\). Угол наклона касательной равен значению производной в точке: - \(\frac{dy}{dx} = 6 \times 2 - 2 = 12 - 2 = 10\). Уравнение касательной: - \(y - 8 = 10(x - 2)\), - \(y = 10x - 20 + 8\), - \(y = 10x - 12\). Надеюсь, это объяснение было полезным!