4-66. Сколько граммов нужно взять 20-процентной и 32,1-про-центной соляной кислоты, чтобы приготовить 242 г 26,7-процентного раствора?

Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать метод смешивания растворов с различной концентрацией, чтобы получить раствор с нужной нам концентрацией. Мы будем использовать следующие данные:

• Нам нужно получить 242 г раствора с концентрацией 26,7%.
• У нас есть два раствора: один с концентрацией 20% и другой с концентрацией 32,1%.

Обозначим:

• \( m_1 \) - масса 20% раствора,
• \( m_2 \) - масса 32,1% раствора.

Шаг 1: Составим уравнение для массы раствора

Согласно условию задачи, общая масса растворов должна составлять 242 г:

\[ m_1 + m_2 = 242 \quad (1) \]

Шаг 2: Составим уравнение для количества кислоты

Теперь мы составим уравнение для количества соляной кислоты в растворах:

• В 20% растворе количество кислоты составляет \( 0,2 \cdot m_1 \).
• В 32,1% растворе количество кислоты составляет \( 0,321 \cdot m_2 \).
• Общее количество кислоты в нужном растворе составляет \( 0,267 \cdot 242 \).

Запишем уравнение для количества кислоты:

\[ 0,2 \cdot m_1 + 0,321 \cdot m_2 = 0,267 \cdot 242 \quad (2) \]

Теперь давайте подставим известное значение:

\[ 0,267 \cdot 242 = 64,574 \]

Таким образом, уравнение (2) принимает следующий вид:

\[ 0,2 \cdot m_1 + 0,321 \cdot m_2 = 64,574 \quad (2) \]

Шаг 3: Решение системы уравнений

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2):

1. \( m_1 + m_2 = 242 \)
2. \( 0,2 \cdot m_1 + 0,321 \cdot m_2 = 64,574 \)

Из уравнения (1) выразим \( m_2 \):

\[ m_2 = 242 - m_1 \quad (3) \]

Теперь подставим \( m_2 \) из (3) в уравнение (2):

\[ 0,2 \cdot m_1 + 0,321 \cdot (242 - m_1) = 64,574 \]

Раскроем скобки:

\[ 0,2 \cdot m_1 + 0,321 \cdot 242 - 0,321 \cdot m_1 = 64,574 \]

Теперь найдем \( 0,321 \cdot 242 \):

\[ 0,321 \cdot 242 \approx 77,762 \]

Подставляем это значение:

\[ 0,2 \cdot m_1 - 0,321 \cdot m_1 + 77,762 = 64,574 \]

Теперь объединим члены с \( m_1 \):

\[ (0,2 - 0,321) \cdot m_1 + 77,762 = 64,574 \]

\[ -0,121 \cdot m_1 + 77,762 = 64,574 \]

Вычтем \( 77,762 \) из обеих сторон:

\[ -0,121 \cdot m_1 = 64,574 - 77,762 \]

\[ -0,121 \cdot m_1 = -13,188 \]

Теперь делим обе стороны на \( -0,121 \):

\[ m_1 = \frac{13,188}{0,121} \approx 109,5 \text{ г} \]

Шаг 4: Найдем \( m_2 \)

Теперь найдем \( m_2 \) с помощью уравнения (3):

\[ m_2 = 242 - m_1 = 242 - 109,5 \approx 132,5 \text{ г} \]

Итог

Таким образом, для приготовления 242 г 26,7%-ного раствора необходимо взять:

• 20%-ного раствора: \( \approx 109,5 \) г
• 32,1%-ного раствора: \( \approx 132,5 \) г