математическим заданием. Вариант 2 контрольной работы по теме «Уравнения и неравенства с двумя переменными» может включать следующие задания: Решить систему уравнений: x - 3y = 2,…

Давайте разберем предложенные математические задания по порядку. Я постараюсь объяснить каждую задачу подробно, чтобы вы поняли, как решать подобные задачи.

Задача 1: Решить систему уравнений

Уравнения:

1. \( x - 3y = 2 \)
2. \( xy + y = 6 \)

Шаг 1: Изолировать одну переменную в первом уравнении.
Из первого уравнения выразим \( x \):
\( x = 3y + 2. \)

Шаг 2: Подставить выражение для \( x \) во второе уравнение.
Теперь подставим \( x \) во второе уравнение:
\( (3y + 2)y + y = 6. \)
Это упростим:
\( 3y^2 + 2y + y = 6 \)
\( 3y^2 + 3y - 6 = 0. \)

Шаг 3: Разделить уравнение на 3.
\( y^2 + y - 2 = 0. \)

Шаг 4: Найти корни уравнения с помощью дискриминанта.
Дискриминант:
\( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9. \)
Корни:
\( y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 3}{2} \).
То есть,
\( y_1 = 1 \) и \( y_2 = -2. \)

Шаг 5: Найти соответствующие значения \( x \).

1. Если \( y = 1 \):
   \( x = 3(1) + 2 = 5. \)
2. Если \( y = -2 \):
   \( x = 3(-2) + 2 = -4. \)

Ответ:
Система имеет решения: \( (5, 1) \) и \( (-4, -2). \)

Задача 2: Найти стороны прямоугольника.

Площадь прямоугольника = 120 см². Одна сторона на 2 см больше другой.

Шаг 1: Обозначим стороны.
Пусть одна сторона \( x \) см, значит другая сторона \( x + 2 \) см.
Теперь запишем уравнение для площади:
\( x(x + 2) = 120. \)

Шаг 2: Раскроем скобки.
\( x^2 + 2x - 120 = 0. \)

Шаг 3: Найдём дискриминант.
\( D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484. \)
Корни:
\( x = \frac{-2 \pm \sqrt{484}}{2} = \frac{-2 \pm 22}{2}. \)
Таким образом,

1. \( x_1 = 10 \) см, 2) \( x_2 = -12 \) см (отрицательное не подходит).

Шаг 4: Подсчитаем стороны.
Одну сторону \( x = 10 \) см, другую \( x + 2 = 12 \) см.

Ответ:
Стороны прямоугольника: 10 см и 12 см.

Задача 3: Изобразить на координатной плоскости множество решений системы неравенств

Неравенства:

1. \( x^2 + y^2 \leq 16 \) (это окружность)
2. \( x + y \geq -2 \) (это прямая)

Шаг 1: Изобразим окружность.
Окружность с центром в (0,0) и радиусом 4. Все точки внутри и на границе окружности удовлетворяют первому неравенству.

Шаг 2: Изобразим прямую.
Для прямой \( x + y = -2 \) при \( x = 0 \), \( y = -2 \), при \( y = 0 \), \( x = -2 \). Эта прямая проходит через точки (-2, 0) и (0, -2). Прямая выше этой линии будет соответствовать второму неравенству.

Шаг 3: Найдем область пересечения.
Область решений находится внутри окружности и выше прямой.

Ответ:
Область, удовлетворяющая обеим системам неравенств, это часть окружности, лежащая выше прямой.

Задача 4: Найти координаты точек пересечения окружности и прямой.

Окружность: \( x^2 + y^2 = 10 \)
Прямая: \( x + 2y = 5 \)

Шаг 1: Изолируем одну переменную в уравнении прямой.
\( y = \frac{5 - x}{2}. \)

Шаг 2: Подставим \( y \) в уравнение окружности.
\( x^2 + \left(\frac{5 - x}{2}\right)^2 = 10. \)

Шаг 3: Раскроем скобки и упростим.
\( x^2 + \frac{(5 - x)^2}{4} = 10. \)
Умножим все на 4:
\( 4x^2 + (5 - x)^2 = 40 \)
\( 4x^2 + 25 - 10x + x^2 = 40 \)
\( 5x^2 - 10x - 15 = 0 \)

Шаг 4: Найдем дискриминант.
\( D = (-10)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-15) = 100 + 300 = 400. \)
Корни:
\( x = \frac{10 \pm 20}{10} \):

1. \( x_1 = 3 \) 2) \( x_2 = -1. \)

Шаг 5: Найдем соответствующие \( y \).

1. Когда \( x = 3 \):
   \( y = \frac{5 - 3}{2} = 1 \).
2. Когда \( x = -1 \):
   \( y = \frac{5 - (-1)}{2} = 3. \)

Ответ:
Точки пересечения: \( (3, 1) \) и \( (-1, 3) \).

Надеюсь, это объяснение помогло вам лучше понять, как подходить к подобным задачам. Если у вас есть еще вопросы или нужны дополнительные пояснения, не стесняйтесь обращаться!