Давайте разберем предложенные математические задания по порядку. Я постараюсь объяснить каждую задачу подробно, чтобы вы поняли, как решать подобные задачи.
Задача 1: Решить систему уравнений
Уравнения:
- ( x - 3y = 2 )
- ( xy + y = 6 )
Шаг 1: Изолировать одну переменную в первом уравнении.
Из первого уравнения выразим ( x ):
( x = 3y + 2. )
Шаг 2: Подставить выражение для ( x ) во второе уравнение.
Теперь подставим ( x ) во второе уравнение:
( (3y + 2)y + y = 6. )
Это упростим:
( 3y^2 + 2y + y = 6 )
( 3y^2 + 3y - 6 = 0. )
Шаг 3: Разделить уравнение на 3.
( y^2 + y - 2 = 0. )
Шаг 4: Найти корни уравнения с помощью дискриминанта.
Дискриминант:
( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9. )
Корни:
( y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 3}{2} ).
То есть,
( y_1 = 1 ) и ( y_2 = -2. )
Шаг 5: Найти соответствующие значения ( x ).
- Если ( y = 1 ):
( x = 3(1) + 2 = 5. )
- Если ( y = -2 ):
( x = 3(-2) + 2 = -4. )
Ответ:
Система имеет решения: ( (5, 1) ) и ( (-4, -2). )
Задача 2: Найти стороны прямоугольника.
Площадь прямоугольника = 120 см². Одна сторона на 2 см больше другой.
Шаг 1: Обозначим стороны.
Пусть одна сторона ( x ) см, значит другая сторона ( x + 2 ) см.
Теперь запишем уравнение для площади:
( x(x + 2) = 120. )
Шаг 2: Раскроем скобки.
( x^2 + 2x - 120 = 0. )
Шаг 3: Найдём дискриминант.
( D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484. )
Корни:
( x = \frac{-2 \pm \sqrt{484}}{2} = \frac{-2 \pm 22}{2}. )
Таким образом,
- ( x_1 = 10 ) см, 2) ( x_2 = -12 ) см (отрицательное не подходит).
Шаг 4: Подсчитаем стороны.
Одну сторону ( x = 10 ) см, другую ( x + 2 = 12 ) см.
Ответ:
Стороны прямоугольника: 10 см и 12 см.
Задача 3: Изобразить на координатной плоскости множество решений системы неравенств
Неравенства:
- ( x^2 + y^2 \leq 16 ) (это окружность)
- ( x + y \geq -2 ) (это прямая)
Шаг 1: Изобразим окружность.
Окружность с центром в (0,0) и радиусом 4. Все точки внутри и на границе окружности удовлетворяют первому неравенству.
Шаг 2: Изобразим прямую.
Для прямой ( x + y = -2 ) при ( x = 0 ), ( y = -2 ), при ( y = 0 ), ( x = -2 ). Эта прямая проходит через точки (-2, 0) и (0, -2). Прямая выше этой линии будет соответствовать второму неравенству.
Шаг 3: Найдем область пересечения.
Область решений находится внутри окружности и выше прямой.
Ответ:
Область, удовлетворяющая обеим системам неравенств, это часть окружности, лежащая выше прямой.
Задача 4: Найти координаты точек пересечения окружности и прямой.
Окружность: ( x^2 + y^2 = 10 )
Прямая: ( x + 2y = 5 )
Шаг 1: Изолируем одну переменную в уравнении прямой.
( y = \frac{5 - x}{2}. )
Шаг 2: Подставим ( y ) в уравнение окружности.
( x^2 + \left(\frac{5 - x}{2}\right)^2 = 10. )
Шаг 3: Раскроем скобки и упростим.
( x^2 + \frac{(5 - x)^2}{4} = 10. )
Умножим все на 4:
( 4x^2 + (5 - x)^2 = 40 )
( 4x^2 + 25 - 10x + x^2 = 40 )
( 5x^2 - 10x - 15 = 0 )
Шаг 4: Найдем дискриминант.
( D = (-10)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-15) = 100 + 300 = 400. )
Корни:
( x = \frac{10 \pm 20}{10} ):
- ( x_1 = 3 ) 2) ( x_2 = -1. )
Шаг 5: Найдем соответствующие ( y ).
- Когда ( x = 3 ):
( y = \frac{5 - 3}{2} = 1 ).
- Когда ( x = -1 ):
( y = \frac{5 - (-1)}{2} = 3. )
Ответ:
Точки пересечения: ( (3, 1) ) и ( (-1, 3) ).
Надеюсь, это объяснение помогло вам лучше понять, как подходить к подобным задачам. Если у вас есть еще вопросы или нужны дополнительные пояснения, не стесняйтесь обращаться!
