Решим каждую из задач по порядку. Для большей ясности будем решать по вариантам.
Вариант 1:
Задача 1:
Напишите первые пять членов последовательности, членами которой являются натуральные числа, кратные числу 15.
Решение:
Натуральные числа, кратные 15, образуются умножением 15 на натуральные числа:
- 1 × 15 = 15
- 2 × 15 = 30
- 3 × 15 = 45
- 4 × 15 = 60
- 5 × 15 = 75
Ответ: 15, 30, 45, 60, 75.
Задача 2:
Последовательность задана формулой ( x_n = 3n^2 + 1 ). Найдите: а) ( x_1 ), б) ( x_3 ), в) ( x_7 ), г) ( x_{2m} ).
Решение:
а) Для ( n = 1 ):
[
x_1 = 3(1^2) + 1 = 3 \cdot 1 + 1 = 4
]
б) Для ( n = 3 ):
[
x_3 = 3(3^2) + 1 = 3 \cdot 9 + 1 = 27 + 1 = 28
]
в) Для ( n = 7 ):
[
x_7 = 3(7^2) + 1 = 3 \cdot 49 + 1 = 147 + 1 = 148
]
г) Для ( n = 2m ):
[
x_{2m} = 3(2m)^2 + 1 = 3 \cdot 4m^2 + 1 = 12m^2 + 1
]
Ответ: а) 4, б) 28, в) 148, г) ( 12m^2 + 1 ).
Задача 3:
Определите номер члена последовательности, заданной формулой ( a_n = 41 - 2n ), равного 19.
Решение:
Сначала приравняем ( a_n ) к 19:
[
41 - 2n = 19
]
Решим уравнение:
[
-2n = 19 - 41
]
[
-2n = -22
]
[
n = 11
]
Ответ: 11.
Задача 4:
Последовательность задана рекуррентным способом: ( y_1 = -3 ), ( y_{n+1} = 2y_n + 5 ). Найдите первые три члена последовательности.
Решение:
- ( y_1 = -3 )
- ( y_2 = 2y_1 + 5 = 2(-3) + 5 = -6 + 5 = -1 )
- ( y_3 = 2y_2 + 5 = 2(-1) + 5 = -2 + 5 = 3 )
Ответ: -3, -1, 3.
Задача 5:
Напишите формулу общего члена последовательности, членами которой являются натуральные числа, при делении которых на 7 в остатке остается 1.
Решение:
Такие числа имеют вид:
[
x_n = 7k + 1 \quad (k \in \mathbb{N})
]
Если ( k = n - 1 ) (где ( n ) – номер члена), то [ x_n = 7(n - 1) + 1 = 7n - 6 ].
Ответ: ( x_n = 7n - 6 ).
Вариант 2:
Задача 1:
Напишите первые пять членов последовательности, членами которой являются натуральные числа, кратные числу 17.
Решение:
Натуральные числа, кратные 17:
- 1 × 17 = 17
- 2 × 17 = 34
- 3 × 17 = 51
- 4 × 17 = 68
- 5 × 17 = 85
Ответ: 17, 34, 51, 68, 85.
Задача 2:
Последовательность задана формулой ( x_n = 8n - n ). Найдите: а) ( x_1 ), б) ( x_3 ), в) ( x_7 ), г) ( x_{2m} ).
Решение:
Упрощаем формулу:
[
x_n = (8 - 1)n = 7n
]
Теперь найдем значения:
- а) ( x_1 = 7 \cdot 1 = 7 )
- б) ( x_3 = 7 \cdot 3 = 21 )
- в) ( x_7 = 7 \cdot 7 = 49 )
- г) ( x_{2m} = 7(2m) = 14m )
Ответ: а) 7, б) 21, в) 49, г) ( 14m ).
Задача 3:
Определите номер члена последовательности, заданной формулой ( b_n = -38 + 3n ), равного -2.
Решение:
Сначала приравняем ( b_n ) к -2:
[
-38 + 3n = -2
]
Решим уравнение:
[
3n = -2 + 38
]
[
3n = 36
]
[
n = 12
]
Ответ: 12.
Задача 4:
Последовательность задана рекуррентным способом: ( x_1 = -7 ), ( x_{n+1} = 5x_n - 1 ). Найдите первые три члена последовательности.
Решение:
- ( x_1 = -7 )
- ( x_2 = 5x_1 - 1 = 5(-7) - 1 = -35 - 1 = -36 )
- ( x_3 = 5x_2 - 1 = 5(-36) - 1 = -180 - 1 = -181 )
Ответ: -7, -36, -181.
Задача 5:
Напишите формулу общего члена последовательности, членами которой являются натуральные числа, при делении которых на 13 в остатке остается 2.
Решение:
Такие числа имеют вид:
[
x_n = 13k + 2 \quad (k \in \mathbb{N})
]
Если ( k = n - 1 ):
[
x_n = 13(n - 1) + 2 = 13n - 11
]
Ответ: ( x_n = 13n - 11 ).
Надеюсь, эти решения помогут вам лучше понять материал! Если есть дополнительные вопросы или что-то неясно, не стесняйтесь спрашивать!
