рариант 1. 1. Напишите первые пять членов последовательности, членами которой являются натуральные числа, кратные числу 15. 2. Последовательность задана формулой х,=3n'+1.…

Решим каждую из задач по порядку. Для большей ясности будем решать по вариантам.

Вариант 1:

Задача 1:

Напишите первые пять членов последовательности, членами которой являются натуральные числа, кратные числу 15.

Решение: Натуральные числа, кратные 15, образуются умножением 15 на натуральные числа:

• 1 × 15 = 15
• 2 × 15 = 30
• 3 × 15 = 45
• 4 × 15 = 60
• 5 × 15 = 75

Ответ: 15, 30, 45, 60, 75.

Задача 2:

Последовательность задана формулой \( x_n = 3n^2 + 1 \). Найдите: а) \( x_1 \), б) \( x_3 \), в) \( x_7 \), г) \( x_{2m} \).

Решение:

• а) Для \( n = 1 \): \[ x_1 = 3(1^2) + 1 = 3 \cdot 1 + 1 = 4 \]

• б) Для \( n = 3 \): \[ x_3 = 3(3^2) + 1 = 3 \cdot 9 + 1 = 27 + 1 = 28 \]

• в) Для \( n = 7 \): \[ x_7 = 3(7^2) + 1 = 3 \cdot 49 + 1 = 147 + 1 = 148 \]

• г) Для \( n = 2m \): \[ x_{2m} = 3(2m)^2 + 1 = 3 \cdot 4m^2 + 1 = 12m^2 + 1 \]

Ответ: а) 4, б) 28, в) 148, г) \( 12m^2 + 1 \).

Задача 3:

Определите номер члена последовательности, заданной формулой \( a_n = 41 - 2n \), равного 19.

Решение: Сначала приравняем \( a_n \) к 19: \[ 41 - 2n = 19 \] Решим уравнение: \[ -2n = 19 - 41 \] \[ -2n = -22 \] \[ n = 11 \]

Ответ: 11.

Задача 4:

Последовательность задана рекуррентным способом: \( y_1 = -3 \), \( y_{n+1} = 2y_n + 5 \). Найдите первые три члена последовательности.

Решение:

• \( y_1 = -3 \)
• \( y_2 = 2y_1 + 5 = 2(-3) + 5 = -6 + 5 = -1 \)
• \( y_3 = 2y_2 + 5 = 2(-1) + 5 = -2 + 5 = 3 \)

Ответ: -3, -1, 3.

Задача 5:

Напишите формулу общего члена последовательности, членами которой являются натуральные числа, при делении которых на 7 в остатке остается 1.

Решение: Такие числа имеют вид: \[ x_n = 7k + 1 \quad (k \in \mathbb{N}) \] Если \( k = n - 1 \) (где \( n \) – номер члена), то \[ x_n = 7(n - 1) + 1 = 7n - 6 \].

Ответ: \( x_n = 7n - 6 \).

---

Вариант 2:

Задача 1:

Напишите первые пять членов последовательности, членами которой являются натуральные числа, кратные числу 17.

Решение: Натуральные числа, кратные 17:

• 1 × 17 = 17
• 2 × 17 = 34
• 3 × 17 = 51
• 4 × 17 = 68
• 5 × 17 = 85

Ответ: 17, 34, 51, 68, 85.

Задача 2:

Последовательность задана формулой \( x_n = 8n - n \). Найдите: а) \( x_1 \), б) \( x_3 \), в) \( x_7 \), г) \( x_{2m} \).

Решение: Упрощаем формулу: \[ x_n = (8 - 1)n = 7n \] Теперь найдем значения:

• а) \( x_1 = 7 \cdot 1 = 7 \)
• б) \( x_3 = 7 \cdot 3 = 21 \)
• в) \( x_7 = 7 \cdot 7 = 49 \)
• г) \( x_{2m} = 7(2m) = 14m \)

Ответ: а) 7, б) 21, в) 49, г) \( 14m \).

Задача 3:

Определите номер члена последовательности, заданной формулой \( b_n = -38 + 3n \), равного -2.

Решение: Сначала приравняем \( b_n \) к -2: \[ -38 + 3n = -2 \] Решим уравнение: \[ 3n = -2 + 38 \] \[ 3n = 36 \] \[ n = 12 \]

Ответ: 12.

Задача 4:

Последовательность задана рекуррентным способом: \( x_1 = -7 \), \( x_{n+1} = 5x_n - 1 \). Найдите первые три члена последовательности.

Решение:

• \( x_1 = -7 \)
• \( x_2 = 5x_1 - 1 = 5(-7) - 1 = -35 - 1 = -36 \)
• \( x_3 = 5x_2 - 1 = 5(-36) - 1 = -180 - 1 = -181 \)

Ответ: -7, -36, -181.

Задача 5:

Напишите формулу общего члена последовательности, членами которой являются натуральные числа, при делении которых на 13 в остатке остается 2.

Решение: Такие числа имеют вид: \[ x_n = 13k + 2 \quad (k \in \mathbb{N}) \] Если \( k = n - 1 \): \[ x_n = 13(n - 1) + 2 = 13n - 11 \]

Ответ: \( x_n = 13n - 11 \).

---

Надеюсь, эти решения помогут вам лучше понять материал! Если есть дополнительные вопросы или что-то неясно, не стесняйтесь спрашивать!