Ознакомьтесь с ситуацией.
Студенты выпускного курса технического колледжа Михаил и Дмитрий работают в родной альма-матер инструкторами секции по управлению дронами. Ребята умело совмещают учебу с работой и активно принимают участие во всех соревнованиях по управлению беспилотными летательными аппаратами, проводимых не только в их регионе, но и за его пределами.
Так, для очередных соревнований Михаил и Дмитрий решили приобрести свои собственные дроны. В магазине им приглянулась модель беспилотника стоимостью 47 000 руб. и каждый из них 1 октября 2024 года оформил кредит на 3 месяца под 30% годовых. Поскольку ребята обратились в разные банки, они решили сравнить графики платежей по кредитам. В силу того, что Михаил взял кредит, предусматривающий его погашение дифференцированными платежами, а Дмитрий аннуитетными платежами, графики выглядели по-разному.
Укажите, какова разница в суммах переплат по взятым ребятами кредитам? При расчетах используйте метод математического округления двух знаков после запятой.
Для решения задачи нам нужно рассчитать переплаты по кредитам Михаила и Дмитрия, учитывая, что у них разные схемы погашения кредита. Для начала давайте определим условия их кредитов и расскажем, как рассчитать переплаты.
### Условия кредита
1. **Сумма кредита (S):** 47,000 руб.
2. **Срок кредита (t):** 3 месяца (0.25 года).
3. **Годовая процентная ставка (r):** 30% (или 0.30 в долях).
### Кредит Михаила — дифференцированные платежи
При дифференцированных платежах сумма основного долга погашается равными частями, а сумма процентов рассчитывается на остаток долга.
1. **Ежемесячный платеж по основному долгу:**
\[
P = \frac{S}{t} = \frac{47,000}{3} = 15,666.67 \text{ руб.}
\]
2. **Сумма процентов по каждому месяцу и общий платеж:**
- **1-й месяц:**
- Остаток долга = 47,000 руб.
- Процент = 47,000 * (0.30 / 12) = 1,175 руб.
- Платеж = 15,666.67 + 1,175 = 16,841.67 руб.
- **2-й месяц:**
- Остаток долга = 47,000 - 15,666.67 = 31,333.33 руб.
- Процент = 31,333.33 * (0.30 / 12) = 784.25 руб.
- Платеж = 15,666.67 + 784.25 = 16,450.92 руб.
- **3-й месяц:**
- Остаток долга = 31,333.33 - 15,666.67 = 15,666.66 руб.
- Процент = 15,666.66 * (0.30 / 12) = 391.67 руб.
- Платеж = 15,666.67 + 391.67 = 16,058.34 руб.
3. **Суммарная переплата для Михаила:**
\[
\text{Переплата} = (16,841.67 + 16,450.92 + 16,058.34) - 47,000 = 49,350.93 - 47,000 = 2,350.93 \text{ руб.}
\]
### Кредит Дмитрия — аннуитетные платежи
Для аннуитетных платежей используется формула:
\[
A = \frac{S * \left( \frac{r}{n} \right)}{1 - (1 + \frac{r}{n})^{-nt}}
\]
где:
- \( A \) — аннуитетный платеж.
- \( S \) — сумма кредита.
- \( r \) — годовая ставка.
- \( n \) — количество платежей в год (в нашем случае \( n = 12 \)).
- \( t \) — срок кредита в годах.
1. **Находим аннуитетный платеж:**
\[
A = \frac{47000 * \left( \frac{0.30}{12} \right)}{1 - \left( 1 + \frac{0.30}{12} \right)^{-3}} \approx \frac{47000 * 0.025}{1 - (1 + 0.025)^{-3}} \approx \frac{1175}{0.0735} \approx 15,982.29 \text{ руб.}
\]
2. **Суммарные платежи за 3 месяца:**
\[
\text{Общие выплаты} = 3 * A \approx 3 * 15,982.29 \approx 47,946.87 \text{ руб.}
\]
3. **Суммарная переплата для Дмитрия:**
\[
\text{Переплата} = 47,946.87 - 47,000 = 946.87 \text{ руб.}
\]
### Разница в переплатах
Теперь давайте найдем разницу в переплатах:
\[
\text{Разница} = \text{Переплата Михаила} - \text{Переплата Дмитрия} \approx 2,350.93 - 946.87 \approx 1,404.06 \text{ руб.}
\]
### Ответ
Разница в суммах переплат по взятым ребятами кредитам составляет **1,404.06 руб.**
