В равнобедренном прямоугольном треугольнике АВС гипотенузой является сторона АВ=6√2. Найдите угол между векторами Ав и Св
Для решения задачи о нахождении угла между векторами \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{СB} \) в равнобедренном прямоугольном треугольнике \( ABC \), начнем с определения его свойств.
Определяем свойства треугольника: Равнобедренный прямоугольный треугольник означает, что два его угла равны, и один из них равен \( 90^\circ \). В данном треугольнике углы \( \angle A \) и \( \angle C \) равны и по \( 45^\circ \).
Находим длины катетов: Длина гипотенузы \( AB \) равна \( 6\sqrt{2} \).
В равнобедренном прямоугольном треугольнике, катеты \( AC \) и \( BC \) равны и могут быть найдены по теореме Пифагора:
\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] Так как \( AC = BC = x \), то:
\[ (6\sqrt{2})^2 = x^2 + x^2 \implies 72 = 2x^2 \implies x^2 = 36 \implies x = 6 \]
Значит, \( AC = 6 \) и \( BC = 6 \).
Определим координаты точек: Для удобства можем расположить треугольник в координатной плоскости:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(6, 0) \)
- \( C(0, 6) \)
Находим векторы: Теперь выразим векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{CB} \):
- Вектор \( \overrightarrow{AB} = B - A = (6 - 0, 0 - 0) = (6, 0) \)
- Вектор \( \overrightarrow{CB} = B - C = (6 - 0, 0 - 6) = (6, -6) \)
Находим угол между векторами: Мы можем использовать формулу для нахождения угла между двумя векторами \( \overrightarrow{a} \) и \( \overrightarrow{b} \):
\[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} \]
Рассмотрим скалярное произведение:
\[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CB} = (6)(6) + (0)(-6) = 36 \]
Найдем длины векторов:
\[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{6^2 + 0^2} = 6 \]
\[ |\overrightarrow{CB}| = \sqrt{6^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \]
Теперь подставим все решения в формулу:
\[ \cos(\theta) = \frac{36}{6 \cdot 6\sqrt{2}} = \frac{36}{36\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Таким образом, угол \( \theta \):
\[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ \]
Ответ: Угол между векторами \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{CB} \) равен \( 45^\circ \).
