Найдите промежуток возрастания функции y = 2x2 –7x + 9.
Для того чтобы определить промежутки возрастания функции \( y = 2x^2 - 7x + 9 \), необходимо следовать нескольким шагам. Начнем с нахождения производной функции, чтобы установить, где функция возрастает или убывает.
Шаг 1: Найдем производную функции
Функция имеет вид:
\[ y = 2x^2 - 7x + 9 \]
Находим ее производную:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2x^2) - \frac{d}{dx}(7x) + \frac{d}{dx}(9) \]
Используя правила дифференцирования, получаем:
\[ \frac{dy}{dx} = 4x - 7 \]
Шаг 2: Найдем критические точки
Чтобы определить, где функция возрастает или убывает, нам нужно найти критические точки. Критические точки находятся, когда производная равна нулю:
\[ 4x - 7 = 0 \]
Решим это уравнение:
\[ 4x = 7 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{7}{4} = 1.75 \]
Шаг 3: Определим знаки производной
Теперь нужно определить, знаковая ли производная в интервалах, образованных критической точкой \( x = \frac{7}{4} \). Мы рассмотрим два интервала:
- \( (-\infty, \frac{7}{4}) \)
- \( (\frac{7}{4}, +\infty) \)
Для интервала \( (-\infty, \frac{7}{4}) \):
Выберем тестовую точку, например, \( x = 1 \):
\[ \frac{dy}{dx} \bigg|_{x=1} = 4(1) - 7 = 4 - 7 = -3 \quad (\text{отрицательная}) \]
Для интервала \( (\frac{7}{4}, +\infty) \):
Теперь выберем тестовую точку, например, \( x = 2 \):
\[ \frac{dy}{dx} \bigg|_{x=2} = 4(2) - 7 = 8 - 7 = 1 \quad (\text{положительная}) \]
Шаг 4: Сделаем выводы
Мы можем подытожить:
- На интервале \( (-\infty, \frac{7}{4}) \) производная отрицательна, значит, функция убывает.
- На интервале \( (\frac{7}{4}, +\infty) \) производная положительна, значит, функция возрастает.
Ответ
Функция \( y = 2x^2 - 7x + 9 \) возрастает на интервале \( (\frac{7}{4}, +\infty) \).
