Взяли одну игральную кость, у которой на гранях только нечётные числа, каждое из которых встречается дважды, и вторую, у которой на гранях встречаются только числа 1 1 и 3 3 по 3…
Взяли одну игральную кость, у которой на гранях только нечётные числа, каждое из которых встречается дважды, и вторую, у которой на гранях встречаются только числа 1 1 и 3 3 по 3 3 раза каждое. В остальном эти игральные кости одинаковые. Случайным образом выбрали одну кость из этой пары и бросили дважды. Известно, что в каком-то порядке выпали числа 3 3 и 1 1. Найди вероятность того, что кидали первую игральную кость. Ответ округли до сотых.
Для решения задачи используем теорему Байеса, которая позволяет находить условные вероятности. Давайте пошагово разберем все действия.
Определим события:
- Обозначим \( A_1 \) — событие, что была взята первая кость (игральная кость с нечётными числами: 1, 3, 5).
- Обозначим \( A_2 \) — событие, что была взята вторая кость (игральная кость с числами 1 и 3, где каждое число встречается по 3 раза).
- Обозначим \( B \) — событие, что при бросках выпали числа 3 и 1 в любом порядке.
Находим необходимую вероятность: Нам нужно найти \( P(A_1 | B) \) — вероятность того, что была взята первая кость при условии, что выпали числа 3 и 1.
По формуле Байеса: \[ P(A_1 | B) = \frac{P(B | A_1) \cdot P(A_1)}{P(B)} \]
Находим \( P(B | A_1) \): Если выбрана первая кость, то на ее гранях только нечётные числа: 1, 3, и 5. Возможные результаты двух бросков будут:
- (1, 1)
- (1, 3)
- (1, 5)
- (3, 1)
- (3, 3)
- (3, 5)
- (5, 1)
- (5, 3)
- (5, 5)
Из всех возможных результатов нас интересуют только варианты (1, 3) и (3, 1). Всего мы имеем 9 возможных пар бросков, следовательно: \[ P(B | A_1) = \frac{2}{9} \]
Находим \( P(B | A_2) \): Если выбрана вторая кость, то возможные результаты бросков (с повторяющимися числами):
- (1, 1)
- (1, 3)
- (3, 1)
- (3, 3)
Здесь также нам интересны только результаты (1, 3) и (3, 1). Всего 4 варианта, следовательно: \[ P(B | A_2) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]
Находим \( P(A_1) \) и \( P(A_2) \): Поскольку кости выбираются случайно: \[ P(A_1) = P(A_2) = \frac{1}{2} \]
Находим \( P(B) \): С помощью полной вероятности: \[ P(B) = P(B | A_1) \cdot P(A_1) + P(B | A_2) \cdot P(A_2) \] Подставим найденные значения: \[ P(B) = \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{18} + \frac{1}{4} \] Приведем к общему знаменателю (36): \[ P(B) = \frac{4}{36} + \frac{9}{36} = \frac{13}{36} \]
Теперь подставляем все в основную формулу: \[ P(A_1 | B) = \frac{P(B | A_1) \cdot P(A_1)}{P(B)} = \frac{\frac{2}{9} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{13}{36}} = \frac{\frac{2}{18}}{\frac{13}{36}} = \frac{2}{18} \cdot \frac{36}{13} = \frac{4}{13} \]
Округляем ответ до сотых: \[ \frac{4}{13} \approx 0.3077 \]
Итак, вероятность того, что кидали первую игральную кость, равна \( \approx 0.31 \) (округлено до сотых).
