Для решения задачи найдем вероятность того, что Дима и Серёжа окажутся в одной из семи групп, когда класс из 21 учащегося разбивается на 7 равных групп. В каждой группе по 3 учащихся, так как ( \frac{21}{7} = 3 ).
- Общее количество способов разбить класс на группы.
Мы можем воспользоваться формулой для разбивки ( n ) элементов на ( k ) групп равного размера:
[
\frac{n!}{(m!)^k \cdot k!}
]
где ( n ) — общее количество учащихся, ( k ) — количество групп, и ( m ) — размер каждой группы.
В нашем случае ( n = 21 ), ( k = 7 ), ( m = 3 ):
[
\text{Общее количество способов} = \frac{21!}{(3!)^7 \cdot 7!}
]
- Количество способов, чтобы Дима и Серёжа были в одной группе.
Если мы хотим, чтобы Дима и Серёжа были в одной группе, мы можем сначала выделить эту группу с ними, к ним добавляем еще одного человека (одного из оставшихся 19). Это можно сделать 19 способами (выбор третьего человека).
Теперь нам нужно разбить оставшихся 18 учеников на 6 групп по 3 человека:
[
\text{Количество способов} = 19 \cdot \frac{18!}{(3!)^6 \cdot 6!}
]
- Вероятность того, что Дима и Серёжа будут в одной группе.
Теперь мы можем найти вероятность ( P ), используя общее количество способов и количество способов, чтобы они были в одной группе:
[
P = \frac{19 \cdot \frac{18!}{(3!)^6 \cdot 6!}}{\frac{21!}{(3!)^7 \cdot 7!}}
]
Находим:
[
P = \frac{19 \cdot 18! \cdot (3!)^7 \cdot 7!}{21! \cdot (3!)^6 \cdot 6!}
]
Упрощаем дробь:
[
= \frac{19 \cdot 7! \cdot (3!)}{21 \cdot 20}
]
Так как ( 21! = 21 \cdot 20 \cdot 20! ):
Получаем:
[
= \frac{19 \cdot 7! \cdot 6}{21 \cdot 20 \cdot 6!}
]
Теперь можно упростить:
[
= \frac{19 \cdot 7}{21 \cdot 20}
]
Теперь подставляем:
[
= \frac{19 \cdot 7}{420} = \frac{133}{420}
]
Преобразуем:
[
= \frac{19}{60}
]
Таким образом, вероятность того, что Дима и Серёжа окажутся в одной группе, составляет ( \frac{19}{60} ).
