Гипотенуза прямоугольного треугольника равена 26 см, а катеты относятся как 5:12. Найдите катеты этого треугольника
Чтобы найти катеты прямоугольного треугольника, когда известна гипотенуза и соотношение катетов, давайте воспользуемся следующими шагами.
Обозначим катеты: Пусть катет, который относится к числу 5, будет равен \(5x\), а катет, который относится к числу 12 – \(12x\), где \(x\) – это коэффициент пропорции.
Используем теорему Пифагора: В прямоугольном треугольнике теорема Пифагора гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Запишем это уравнение: \[ (5x)^2 + (12x)^2 = 26^2 \]
Преобразуем уравнение: Вычислим значения в уравнении: \[ 25x^2 + 144x^2 = 676 \] Это можно упростить: \[ 169x^2 = 676 \]
Решим уравнение: Разделим обе стороны на 169: \[ x^2 = \frac{676}{169} \] \[ x^2 = 4 \] Теперь извлечем квадратный корень из обеих сторон: \[ x = 2 \]
Находим катеты: Теперь подставим найденное значение \(x\) обратно в выражения для катетов:
- Первый катет (5x): \[ 5x = 5 \times 2 = 10 \, \text{см} \]
- Второй катет (12x): \[ 12x = 12 \times 2 = 24 \, \text{см} \]
Ответ: Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны 10 см и 24 см.
Это решение показывает, как можно использовать соотношения катетов и теорему Пифагора для нахождения необходимых величин в прямоугольном треугольнике.
