Найдите сумму первых пятнадцати членов арифметической прогрессии (аn), если а1 = 2 и а2 = 5. Является ли число –6 членом арифметической прогрессии (сn), в которой с1 = 30 и с7 =…

Давайте разберем каждую из представленных задач по порядку.

Задача 1: Сумма первых пятнадцати членов арифметической прогрессии

Условия задачи:

• Первый член (a1) = 2
• Второй член (a2) = 5

Шаг 1: Найдем разность прогрессии (d).
Разность арифметической прогрессии определяется как: \[ d = a2 - a1 = 5 - 2 = 3 \]

Шаг 2: Запишем формулу n-го члена арифметической прогрессии:
Формула для n-го члена арифметической прогрессии: \[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \]

Шаг 3: Подставим значения, чтобы найти 15-й член (a15):
\[ a_{15} = 2 + (15 - 1) \cdot 3 = 2 + 14 \cdot 3 = 2 + 42 = 44 \]

Шаг 4: Найдем сумму первых n членов арифметической прогрессии (S_n):
Сумма первых n членов вычисляется по формуле: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]

Подставим известные значения для n = 15: \[ S_{15} = \frac{15}{2} \cdot (2 + 44) = \frac{15}{2} \cdot 46 = \frac{15 \cdot 46}{2} = 15 \cdot 23 = 345 \]

Ответ: Сумма первых пятнадцати членов арифметической прогрессии равна 345.

Задача 2: Является ли число –6 членом арифметической прогрессии (c_n)

Условия задачи:

• Первый член (c1) = 30
• Седьмой член (c7) = 21

Шаг 1: Найдем разность прогрессии (d).
Используем формулу для n-го члена: \[ c_n = c_1 + (n - 1) \cdot d \] Для 7-го члена: \[ c_7 = c_1 + 6d \] \[ 21 = 30 + 6d \] \[ 6d = 21 - 30 = -9 \] \[ d = -\frac{9}{6} = -\frac{3}{2} \]

Шаг 2: Запишем формулу n-го члена прогрессии:
Теперь мы можем записать: \[ c_n = 30 + (n - 1) \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) \]

Шаг 3: Проверим, существует ли n, такое что c_n = -6: \[ -6 = 30 + (n - 1) \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) \] Преобразуем уравнение: \[ -6 - 30 = (n - 1) \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) \] \[ -36 = (n - 1) \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) \] \[ 36 = (n - 1) \cdot \frac{3}{2} \] \[ 36 \cdot \frac{2}{3} = n - 1 \] \[ 24 = n - 1 \] \[ n = 25 \]

Ответ: Да, число –6 является 25-м членом арифметической прогрессии.

Задача 3: Сумма первых двадцати членов последовательности

Условия задачи:

• Формула b_n = 2n + 1

Шаг 1: Найдем сумму первых 20 членов:
Сумма первых n членов вычисляется по формуле: \[ S_n = \sum_{k=1}^{n} b_k \]

Подставляем нашу формулу в сумму: \[ S_{20} = \sum_{k=1}^{20} (2k + 1) = \sum_{k=1}^{20} 2k + \sum_{k=1}^{20} 1 \]

Первую часть считаем через формулу суммы первых n натуральных чисел: \[ \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n + 1)}{2} \] Для n = 20: \[ \sum_{k=1}^{20} k = \frac{20 \cdot 21}{2} = 210 \] Значит: \[ \sum_{k=1}^{20} 2k = 2 \cdot 210 = 420 \]

Вторая часть - это просто 20 (по числу членов): \[ \sum_{k=1}^{20} 1 = 20 \]

Таким образом: \[ S_{20} = 420 + 20 = 440 \]

Ответ: Сумма первых двадцати членов последовательности равна 440.

Задача 4: Сумма всех натуральных чисел, кратных 4 и не превышающих 150

Шаг 1: Определим последовательность
Кратные 4 числа до 150: 4, 8, 12, ..., 148. Это арифметическая прогрессия.

Шаг 2: Определим первый и последний член:
Первый член (a_1) = 4, последний член (a_n) = 148.
Разность прогрессии (d) = 4.

Шаг 3: Найдем количество членов (n): \[ a_n = a_1 + (n - 1) d \] \[ 148 = 4 + (n - 1) \cdot 4 \] \[ 148 - 4 = (n - 1) \cdot 4 \] \[ 144 = (n - 1) \cdot 4 \] \[ n - 1 = 36 \] \[ n = 37 \]

Шаг 4: Находим сумму:
Сумма n членов арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \] \[ S_{37} = \frac{37}{2} \cdot (4 + 148) = \frac{37}{2} \cdot 152 = 37 \cdot 76 = 2812 \]

Ответ: Сумма всех натуральных чисел, кратных 4 и не превышающих 150, равна 2812.