Определите площадь основания призмы. Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна 16 см и образует с боковой гранью угол 30°.

Чтобы определить площадь основания правильной четырёхугольной призмы, начнём с анализа предоставленной информации.

Дано:

• Диагональ призмы \( d = 16 \, \text{см} \).
• Угол между диагональю и боковой гранью \( \alpha = 30^\circ \).

Шаг 1: Найдём высоту призмы.

Диагональ четырёхугольного основания призмы образует угол с боковой гранью, и мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты призмы. Поскольку основание призмы — правильный квадрат, то диагональ квадрата делится на два равных отрезка. В правильном квадрате, если обозначить сторону квадрата как \( a \), диагональ \( d \) можно выразить через сторону:

\[ d = a \sqrt{2} \]

Отсюда:

\[ a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{16}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2} \, \text{см} \]

Шаг 2: Нахождение высоты по углу наклона.

Теперь, чтобы найти высоту призмы \( h \), можем использовать значение диагонали и вписанного угла. В треугольнике, образованном высотой \( h \), половиной диагонали и углом \( 30^\circ \), имеем:

\[ \sin(30^\circ) = \frac{h}{d/2} \]

Так как \( d/2 = 8 \, \text{см} \):

\[ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \]

Подставляем в уравнение:

\[ \frac{1}{2} = \frac{h}{8} \]

Отсюда \( h = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \, \text{см} \).

Шаг 3: Найдём площадь \( S \) основания.

Теперь мы знаем сторону квадрата. Для площади оснований правильной призмы \( S \):

\[ S = a^2 = (8\sqrt{2})^2 = 64 \cdot 2 = 128 \, \text{см}^2 \]

Ответ

Площадь основания правильной четырёхугольной призмы равна \( 128 \, \text{см}^2 \).