Найдите сумму первых двадцати членов последовательности, заданной формулой bn = 2n + 1. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превышающих 150.

Давайте поочередно решим две задачи.

Задача 1: Сумма первых двадцати членов последовательности

Дано: Формула для n-го члена последовательности \( b_n = 2n + 1 \).
Нужно найти: Сумму первых 20 членов этой последовательности.

Шаг 1: Находим первые 20 членов последовательности.

Подставим \( n = 1, 2, 3, \ldots, 20 \) в формулу:

• \( b_1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3 \)
• \( b_2 = 2 \cdot 2 + 1 = 5 \)
• \( b_3 = 2 \cdot 3 + 1 = 7 \)
• \( b_4 = 2 \cdot 4 + 1 = 9 \)
• \( b_5 = 2 \cdot 5 + 1 = 11 \)
• \( b_6 = 2 \cdot 6 + 1 = 13 \)
• \( b_7 = 2 \cdot 7 + 1 = 15 \)
• \( b_8 = 2 \cdot 8 + 1 = 17 \)
• \( b_9 = 2 \cdot 9 + 1 = 19 \)
• \( b_{10} = 2 \cdot 10 + 1 = 21 \)
• \( b_{11} = 2 \cdot 11 + 1 = 23 \)
• \( b_{12} = 2 \cdot 12 + 1 = 25 \)
• \( b_{13} = 2 \cdot 13 + 1 = 27 \)
• \( b_{14} = 2 \cdot 14 + 1 = 29 \)
• \( b_{15} = 2 \cdot 15 + 1 = 31 \)
• \( b_{16} = 2 \cdot 16 + 1 = 33 \)
• \( b_{17} = 2 \cdot 17 + 1 = 35 \)
• \( b_{18} = 2 \cdot 18 + 1 = 37 \)
• \( b_{19} = 2 \cdot 19 + 1 = 39 \)
• \( b_{20} = 2 \cdot 20 + 1 = 41 \)

Теперь у нас есть первые 20 членов:

\( 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41 \)

Шаг 2: Находим сумму.

Сложим все члены:

\[ S = 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 \]

Согласованно, можно заметить, что эта последовательность – это последовательность нечетных чисел, и ее сумма может быть вычислена по формуле:

\[ S_n = n^2 \]

где \( n \) — количество членов. В нашем случае \( n = 20 \):

\[ S_{20} = 20^2 = 400 \]

Таким образом, сумма первых двадцати членов последовательности \( b_n = 2n + 1 \) равна 400.

Задача 2: Сумма всех натуральных чисел, кратных 4 и не превышающих 150

Шаг 1: Найдем числа, кратные 4, при этом не превышающие 150.

Последовательность таких чисел: \( 4, 8, 12, \ldots, 148 \).

Это арифметическая прогрессия, где:

• Первый член \( a = 4 \)
• Разность \( d = 4 \)
• Последний член \( l = 148 \)

Шаг 2: Найдем количество членов.

Чтобы найти количество членов арифметической прогрессии, используем формулу для n-го члена:

\[ l = a + (n-1)d \]

Подставим известные значения:

\[ 148 = 4 + (n-1) \cdot 4 \]

Упрощаем уравнение:

\[ 148 - 4 = 4(n - 1) \implies 144 = 4(n - 1) \implies n - 1 = \frac{144}{4} = 36 \implies n = 37 \]

Шаг 3: Найдем сумму членов.

Сумма \( S_n \) первых \( n \) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

\[ S_n = \frac{n}{2}(a + l) \]

Подставим найденные значения:

\[ S_{37} = \frac{37}{2}(4 + 148) = \frac{37}{2} \cdot 152 = 37 \cdot 76 = 2812 \]

Таким образом, сумма всех натуральных чисел, кратных 4 и не превышающих 150, равна 2812.