Найдите сумму первых двадцати членов последовательности, заданной формулой bn = 2n + 1. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превышающих 150.

Давайте поочередно решим две задачи. ### Задача 1: Сумма первых двадцати членов последовательности **Дано:** Формула для n-го члена последовательности \( b_n = 2n + 1 \). **Нужно найти:** Сумму первых 20 членов этой последовательности. **Шаг 1: Находим первые 20 членов последовательности.** Подставим \( n = 1, 2, 3, \ldots, 20 \) в формулу: - \( b_1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3 \) - \( b_2 = 2 \cdot 2 + 1 = 5 \) - \( b_3 = 2 \cdot 3 + 1 = 7 \) - \( b_4 = 2 \cdot 4 + 1 = 9 \) - \( b_5 = 2 \cdot 5 + 1 = 11 \) - \( b_6 = 2 \cdot 6 + 1 = 13 \) - \( b_7 = 2 \cdot 7 + 1 = 15 \) - \( b_8 = 2 \cdot 8 + 1 = 17 \) - \( b_9 = 2 \cdot 9 + 1 = 19 \) - \( b_{10} = 2 \cdot 10 + 1 = 21 \) - \( b_{11} = 2 \cdot 11 + 1 = 23 \) - \( b_{12} = 2 \cdot 12 + 1 = 25 \) - \( b_{13} = 2 \cdot 13 + 1 = 27 \) - \( b_{14} = 2 \cdot 14 + 1 = 29 \) - \( b_{15} = 2 \cdot 15 + 1 = 31 \) - \( b_{16} = 2 \cdot 16 + 1 = 33 \) - \( b_{17} = 2 \cdot 17 + 1 = 35 \) - \( b_{18} = 2 \cdot 18 + 1 = 37 \) - \( b_{19} = 2 \cdot 19 + 1 = 39 \) - \( b_{20} = 2 \cdot 20 + 1 = 41 \) Теперь у нас есть первые 20 членов: \( 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41 \) **Шаг 2: Находим сумму.** Сложим все члены: \[ S = 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 \] Согласованно, можно заметить, что эта последовательность – это последовательность нечетных чисел, и ее сумма может быть вычислена по формуле: \[ S_n = n^2 \] где \( n \) — количество членов. В нашем случае \( n = 20 \): \[ S_{20} = 20^2 = 400 \] Таким образом, сумма первых двадцати членов последовательности \( b_n = 2n + 1 \) равна 400. ### Задача 2: Сумма всех натуральных чисел, кратных 4 и не превышающих 150 **Шаг 1: Найдем числа, кратные 4, при этом не превышающие 150.** Последовательность таких чисел: \( 4, 8, 12, \ldots, 148 \). Это арифметическая прогрессия, где: - Первый член \( a = 4 \) - Разность \( d = 4 \) - Последний член \( l = 148 \) **Шаг 2: Найдем количество членов.** Чтобы найти количество членов арифметической прогрессии, используем формулу для n-го члена: \[ l = a + (n-1)d \] Подставим известные значения: \[ 148 = 4 + (n-1) \cdot 4 \] Упрощаем уравнение: \[ 148 - 4 = 4(n - 1) \implies 144 = 4(n - 1) \implies n - 1 = \frac{144}{4} = 36 \implies n = 37 \] **Шаг 3: Найдем сумму членов.** Сумма \( S_n \) первых \( n \) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: \[ S_n = \frac{n}{2}(a + l) \] Подставим найденные значения: \[ S_{37} = \frac{37}{2}(4 + 148) = \frac{37}{2} \cdot 152 = 37 \cdot 76 = 2812 \] Таким образом, сумма всех натуральных чисел, кратных 4 и не превышающих 150, равна 2812.