Чтобы решить задачу, давайте обозначим известные и неизвестные величины.
- Обозначим скорость течения реки как ( v ) км/ч.
- Собственная скорость катера равна ( 13 ) км/ч.
Теперь найдем время, которое катер тратит на путь против течения и обратно.
Путь против течения
Когда катер плывет против течения, его скорость будет:
[ 13 - v \text{ км/ч} ]
Расстояние равно ( 160 ) км, следовательно, время ( t_1 ) на путь против течения можно выразить как:
[
t_1 = \frac{160}{13 - v}
]
Обратный путь
Когда катер плывет по течению, его скорость будет:
[ 13 + v \text{ км/ч} ]
Время ( t_2 ) на обратный путь будет:
[
t_2 = \frac{160}{13 + v}
]
Разница во времени
Согласно условию задачи, обратный путь занял на 6 часов меньше времени, чем путь против течения:
[
t_1 - t_2 = 6
]
Подставляя выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ), получаем:
[
\frac{160}{13 - v} - \frac{160}{13 + v} = 6
]
Теперь упростим это уравнение. Приведем дроби к общему знаменателю:
[
\frac{160(13 + v) - 160(13 - v)}{(13 - v)(13 + v)} = 6
]
Упрощаем числитель:
[
160(13 + v - 13 + v) = 160(2v) = 320v
]
Теперь у нас есть:
[
\frac{320v}{(13 - v)(13 + v)} = 6
]
Перемножим обе стороны на ((13 - v)(13 + v)):
[
320v = 6(13^2 - v^2)
]
Теперь вычислим (13^2):
[
13^2 = 169
]
Следовательно:
[
320v = 6(169 - v^2)
]
Открываем скобки:
[
320v = 1014 - 6v^2
]
Перемещаем все в одну сторону:
[
6v^2 + 320v - 1014 = 0
]
Решим квадратное уравнение
Используем формулу для решения квадратных уравнений ( ax^2 + bx + c = 0 ):
[
D = b^2 - 4ac = 320^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1014)
]
Вычислим дискриминант ( D ):
[
D = 102400 + 24336 = 126736
]
Теперь находим ( v ):
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-320 \pm \sqrt{126736}}{12}
]
Вычислим ( \sqrt{126736} ):
[
\sqrt{126736} \approx 356.6
]
Теперь подставляем это значение в формулу:
[
v = \frac{-320 \pm 356.6}{12}
]
Рассмотрим два случая:
- ( v_1 = \frac{36.6}{12} \approx 3.05 )
- ( v_2 = \frac{-676.6}{12} ) (это отрицательное значение, его не рассматриваем)
Таким образом, скорость течения реки составляет примерно ( 3.05 ) км/ч.
Перевод в км/с
Чтобы получить скорость в км/с, нужно разделить полученное значение на ( 3600 ):
[
v \approx \frac{3.05}{3600} \approx 0.000847 \text{ км/с}
]
Ответ
Скорость течения реки примерно 0.000847 км/с.
