Найдите квадрат длины вектора → a { − 8 ; 3 ; 15 } .

Чтобы найти квадрат длины вектора \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ -12 \end{pmatrix}\), используем ту же формулу, как и в предыдущем примере. Квадрат длины вектора — это сумма квадратов его компонент.

Шаг 1: Квадраты компонент

Компоненты вектора:

• \(x = 4\)
• \(y = -12\)

Теперь вычислим квадраты компонент:

\[ x^2 = 4^2 = 16 \] \[ y^2 = (-12)^2 = 144 \]

Шаг 2: Сложить квадраты компонент

Теперь сложим эти значения:

\[ x^2 + y^2 = 16 + 144 = 160 \]

Ответ

Квадрат длины вектора \(\vec{a}\) равен 160.

Давайте вычислим \( \vec{a} - \vec{b} \) и затем найдем произведение координат результирующего вектора.

Даны вектора:

\[ \vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ -7 \end{pmatrix} \] \[ \vec{b} = \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \end{pmatrix} \]

Шаг 1: Вычислим \( \vec{a} - \vec{b} \)

Вычтем координаты вектора \(\vec{b}\) из координат вектора \(\vec{a}\):

\[ \vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} 4 - 6 \\ -7 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -8 \end{pmatrix} \]

Шаг 2: Найдем произведение координат

Теперь найдем произведение координат вектора \(\vec{a} - \vec{b}\):

\[ -2 \cdot (-8) = 16 \]

Ответ

Произведение координат вектора \(\vec{a} - \vec{b}\) равно 16.

Давайте сначала найдём вектор \( 7\vec{a} \), а затем найдем сумму его координат.

Дано:

\[ \vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \end{pmatrix} \]

Шаг 1: Умножим вектор на 7

Умножим вектор \(\vec{a}\) на 7:

\[ 7\vec{a} = 7 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \cdot 3 \\ 7 \cdot -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 21 \\ -42 \end{pmatrix} \]

Шаг 2: Найди сумму координат

Теперь найдём сумму координат результирующего вектора:

\[ 21 + (-42) = 21 - 42 = -21 \]

Ответ

Сумма координат вектора \( 7\vec{a} \) равна -21.

Чтобы найти скалярное произведение \((\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{b} + \vec{d})\), сначала вычислим векторы \(\vec{a} - \vec{c}\) и \(\vec{b} + \vec{d}\), а затем найдем их скалярное произведение.

Даны вектора:

\[ \vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad \vec{c} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad \vec{d} = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix} \]

Шаг 1: Вычислим вектор \(\vec{a} - \vec{c}\)

\[ \vec{a} - \vec{c} = \begin{pmatrix} 4 - (-1) \\ 5 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 + 1 \\ 5 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} \]

Шаг 2: Вычислим вектор \(\vec{b} + \vec{d}\)

\[ \vec{b} + \vec{d} = \begin{pmatrix} 2 + 5 \\ 3 + 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \end{pmatrix} \]

Шаг 3: Найдем скалярное произведение

Теперь мы можем найти скалярное произведение \((\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{b} + \vec{d})\):

\[ (\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{b} + \vec{d}) = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \end{pmatrix} \]

Скалярное произведение рассчитывается по формуле:

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 \]

Подставим значения:

\[ 5 \cdot 7 + 2 \cdot 8 = 35 + 16 = 51 \]

Ответ

Скалярное произведение \((\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{b} + \vec{d})\) равно 51.

Чтобы найти произведение координат вектора \(-3.4\vec{a}\), сначала умножим вектор \(\vec{a}\) на \(-3.4\), а затем найдем произведение его координат.

Дано:

\[ \vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} \]

Шаг 1: Умножим вектор на \(-3.4\)

Умножим каждую координату вектора \(\vec{a}\) на \(-3.4\):

\[ -3.4\vec{a} = -3.4 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3.4 \cdot 4 \\ -3.4 \cdot (-4) \\ -3.4 \cdot 2 \end{pmatrix} \]

Теперь вычислим каждое произведение:

\[ -3.4 \cdot 4 = -13.6 \] \[ -3.4 \cdot (-4) = 13.6 \] \[ -3.4 \cdot 2 = -6.8 \]

Таким образом, получаем вектор: \[ -3.4\vec{a} = \begin{pmatrix} -13.6 \\ 13.6 \\ -6.8 \end{pmatrix} \]

Шаг 2: Найдем произведение координат

Теперь найдем произведение координат нового вектора:

\[ (-13.6) \cdot (13.6) \cdot (-6.8) \]

Сначала перемножим первые два значения:

\[ (-13.6) \cdot (13.6) = -184.96 \]

Теперь умножим результат на третью координату:

\[ -184.96 \cdot (-6.8) = 1259.328 \]

Ответ

Произведение координат вектора \(-3.4\vec{a}\) равно 1259.328.

Чтобы найти сумму координат вектора \(\overline{AB}\), сначала нужно определить координаты этого вектора. Вектор \(\overline{AB}\) можно найти, вычитая координаты точки \(A\) из координат точки \(B\).

Даны точки:

• \(A(-7; -2)\)
• \(B(-2; 5)\)

Шаг 1: Найдем координаты вектора \(\overline{AB}\)

Координаты вектора \(\overline{AB}\) рассчитываются следующим образом:

\[ \overline{AB} = B - A = \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -7 \\ -2 \end{pmatrix} \]

Вычтем координаты:

\[ \overline{AB} = \begin{pmatrix} -2 - (-7) \\ 5 - (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 + 7 \\ 5 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix} \]

Шаг 2: Найдем сумму координат

Теперь, когда у нас есть координаты вектора \(\overline{AB}\), равно \( \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix} \), найдем сумму его координат:

\[ 5 + 7 = 12 \]

Ответ

Сумма координат вектора \(\overline{AB}\) равна 12.