Угол С треугольника АВС равен 60°. На продолжении стороны ВС за точку С отметили точку D так, что DC + СА = ВС. Докажи-те, что треугольник ABD равнобедренный.

Дано, что угол \( \angle C = 60^\circ \) в треугольнике \( ABC \) и точка \( D \) лежит на продолжении стороны \( BC \), такая что \( DC + CA = BC \).

Обозначим:

• \( AB = c \)
• \( AC = b \)
• \( BC = a \)
• \( CD = x \)

Согласно условию, у нас есть равенство: \[ DC + CA = BC \implies x + b = a \implies x = a - b \]

Теперь рассмотрим треугольник \( ABD \). Для его анализа воспользуемся свойством равнобедренного треугольника. Нам нужно показать, что \( AB = AD \) или \( BD = AB \).

Рассмотрим угол \( \angle ADB \). Угол \( \angle C = 60^\circ \), тогда сопредельные углы \( \angle ABC \) и \( \angle ACB \) в треугольнике \( ABC \) можно выразить через известные стороны. По правилу о сумме углов треугольника: \[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \implies \angle A + \angle B + 60^\circ = 180^\circ \implies \angle A + \angle B = 120^\circ \]

Известно, что в дополнительной точке \( D \) \( BC \) в \( \triangle ABD \) угол \( \angle ADB = 180^\circ - \angle ACB \). Это означает: \[ \angle ADB = 120^\circ - \angle A = 120^\circ - \theta \] для \( C \) (где \( \theta \) - угол при \( A \)).

Теперь построим угол \( \angle ABD \): Так как \( CD = a - b \) и мы знаем, что \( ABC \) есть один угол равный \( 60^\circ \), где \( A + B = 120^\circ \), это позволяет утверждать, что: \[ \angle ABD = \angle A + \angle C = 60^\circ + \angle B, \] где \( \angle DBA = \angle B + \angle A + 60^\circ = 180 - \angle ABC \).

Теперь у нас есть два угла при \( AB \) и \( AD \):

Так как \( \angle ADB \) и \( \angle ACB \) равные, мы можем ввести: \[ \angle ABD = \angle ADB. \] Это указывает на то, что треугольник равнобедренный: \[ AB = AD. \]

Следовательно, треугольник \( ABD \) является равнобедренным. Это законченный доказательства.