Чтобы решить задачу, давайте начнем с определения необходимых формул и понятий.
Шаг 1: Площадь кругового сектора
Площадь сектора круга можно найти с помощью формулы:
[
S = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2
]
где ( S ) — площадь сектора, ( \alpha ) — центральный угол сектора в градусах, ( r ) — радиус круга.
Шаг 2: Нахождение площади сектора для угла ( 48^\circ )
В нашем случае радиус ( r = 6 ), а угол ( \alpha = 48^\circ ). Подставим значения в формулу:
[
S_1 = \frac{48}{360} \cdot \pi (6)^2
]
Сначала вычислим ( (6)^2 = 36 ):
[
S_1 = \frac{48}{360} \cdot \pi \cdot 36
]
Упростим дробь ( \frac{48}{360} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15} ):
[
S_1 = \frac{2}{15} \cdot \pi \cdot 36 = \frac{72}{15} \pi = 4.8 \pi
]
Шаг 3: Нахождение площади сектора, ограниченного дугой длиной ( 8\pi )
Длина дуги сектора определяется формулой:
[
L = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r
]
где ( L ) — длина дуги.
В данном случае ( L = 8\pi ) и ( r = 6 ). Подставим значения и найдем угол ( \alpha ):
[
8\pi = \frac{\alpha}{360} \cdot 2\pi \cdot 6
]
Сначала упростим правую часть:
[
8\pi = \frac{\alpha \cdot 12\pi}{360}
]
Упростим уравнение:
[
8 = \frac{\alpha \cdot 12}{360}
]
Умножим обе стороны на ( 360 ):
[
2880 = 12\alpha
]
Теперь разделим на 12:
[
\alpha = \frac{2880}{12} = 240^\circ
]
Теперь найдем площадь сектора с углом ( 240^\circ ):
[
S_2 = \frac{240}{360} \cdot \pi (6)^2
]
Упрощаем:
[
S_2 = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot 36 = 24\pi
]
Шаг 4: Отношение площадей сектора
Теперь у нас есть площади двух сектора:
- ( S_1 = 4.8\pi )
- ( S_2 = 24\pi )
Теперь найдем их отношение:
[
\text{Отношение} = \frac{S_1}{S_2} = \frac{4.8\pi}{24\pi} = \frac{4.8}{24} = \frac{1}{5}
]
Ответ:
Отношение площади кругового сектора с углом ( 48^\circ ) к площади кругового сектора, ограниченного дугой длиной ( 8\pi ), равно ( \frac{1}{5} ).
