Радиус круга равен 6 6. Найди отношение площади кругового сектора данного круга, соответствующего углу в 4 8 ∘ 48 ∘ , к площади кругового сектора данного круга, ограниченного…
Радиус круга равен 6 6. Найди отношение площади кругового сектора данного круга, соответствующего углу в 4 8 ∘ 48 ∘ , к площади кругового сектора данного круга, ограниченного дугой длиной 8 𝜋 8π.
Чтобы решить задачу, давайте начнем с определения необходимых формул и понятий.
Шаг 1: Площадь кругового сектора
Площадь сектора круга можно найти с помощью формулы: \[ S = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2 \] где \( S \) — площадь сектора, \( \alpha \) — центральный угол сектора в градусах, \( r \) — радиус круга.
Шаг 2: Нахождение площади сектора для угла \( 48^\circ \)
В нашем случае радиус \( r = 6 \), а угол \( \alpha = 48^\circ \). Подставим значения в формулу: \[ S_1 = \frac{48}{360} \cdot \pi (6)^2 \] Сначала вычислим \( (6)^2 = 36 \): \[ S_1 = \frac{48}{360} \cdot \pi \cdot 36 \] Упростим дробь \( \frac{48}{360} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15} \): \[ S_1 = \frac{2}{15} \cdot \pi \cdot 36 = \frac{72}{15} \pi = 4.8 \pi \]
Шаг 3: Нахождение площади сектора, ограниченного дугой длиной \( 8\pi \)
Длина дуги сектора определяется формулой: \[ L = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r \] где \( L \) — длина дуги.
В данном случае \( L = 8\pi \) и \( r = 6 \). Подставим значения и найдем угол \( \alpha \): \[ 8\pi = \frac{\alpha}{360} \cdot 2\pi \cdot 6 \] Сначала упростим правую часть: \[ 8\pi = \frac{\alpha \cdot 12\pi}{360} \] Упростим уравнение: \[ 8 = \frac{\alpha \cdot 12}{360} \] Умножим обе стороны на \( 360 \): \[ 2880 = 12\alpha \] Теперь разделим на 12: \[ \alpha = \frac{2880}{12} = 240^\circ \]
Теперь найдем площадь сектора с углом \( 240^\circ \): \[ S_2 = \frac{240}{360} \cdot \pi (6)^2 \] Упрощаем: \[ S_2 = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot 36 = 24\pi \]
Шаг 4: Отношение площадей сектора
Теперь у нас есть площади двух сектора:
- \( S_1 = 4.8\pi \)
- \( S_2 = 24\pi \)
Теперь найдем их отношение: \[ \text{Отношение} = \frac{S_1}{S_2} = \frac{4.8\pi}{24\pi} = \frac{4.8}{24} = \frac{1}{5} \]
Ответ:
Отношение площади кругового сектора с углом \( 48^\circ \) к площади кругового сектора, ограниченного дугой длиной \( 8\pi \), равно \( \frac{1}{5} \).
