Для решения задачи нам необходимо определить скорость теплохода по течению реки. Поскольку у нас есть данные о времени, затраченном теплоходом в пути, и расстоянии, которое он прошёл, мы можем использовать систему уравнений.
Давайте обозначим:
- ( v_t ) — скорость теплохода в стоячей воде (без течения);
- ( v_r ) — скорость течения реки.
По условию, скорость теплохода по течению будет равна ( v_t + v_r ), а против течения — ( v_t - v_r ).
Теперь запишем уравнения, основываясь на данных из задачи.
- Первое уравнение (1 час по течению и 8 часов против течения):
Расстояние, пройденное по течению:
[
d_1 = (v_t + v_r) \cdot 1
]
Расстояние, пройденное против течения:
[
d_2 = (v_t - v_r) \cdot 8
]
Общее расстояние:
[
d_1 + d_2 = 310 \quad (1)
]
Подставим выражения для ( d_1 ) и ( d_2 ):
[
(v_t + v_r) \cdot 1 + (v_t - v_r) \cdot 8 = 310
]
Раскроем скобки:
[
v_t + v_r + 8v_t - 8v_r = 310
]
Упростим:
[
9v_t - 7v_r = 310 \quad (1)
]
- Второе уравнение (2 часа по течению и 4 часа против течения):
Расстояние, пройденное по течению:
[
d_3 = (v_t + v_r) \cdot 2
]
Расстояние, пройденное против течения:
[
d_4 = (v_t - v_r) \cdot 4
]
Общее расстояние:
[
d_3 + d_4 = 212 \quad (2)
]
Подставим выражения для ( d_3 ) и ( d_4 ):
[
(v_t + v_r) \cdot 2 + (v_t - v_r) \cdot 4 = 212
]
Раскроем скобки:
[
2v_t + 2v_r + 4v_t - 4v_r = 212
]
Упростим:
[
6v_t - 2v_r = 212 \quad (2)
]
Теперь у нас есть система уравнений:
- ( 9v_t - 7v_r = 310 )
- ( 6v_t - 2v_r = 212 )
Давайте выразим ( v_r ) через ( v_t ) из второго уравнения:
[
2v_r = 6v_t - 212
]
[
v_r = 3v_t - 106 \quad (3)
]
Теперь подставим ( v_r ) из уравнения (3) в уравнение (1):
[
9v_t - 7(3v_t - 106) = 310
]
Раскроем скобки:
[
9v_t - 21v_t + 742 = 310
]
Упростим:
[
-12v_t + 742 = 310
]
Теперь изолируем ( v_t ):
[
-12v_t = 310 - 742
]
[
-12v_t = -432
]
[
v_t = \frac{-432}{-12}
]
[
v_t = 36
]
Теперь найдем ( v_r ):
Подставим ( v_t ) в уравнение (3):
[
v_r = 3 \cdot 36 - 106
]
[
v_r = 108 - 106
]
[
v_r = 2
]
Теперь мы можем ответить на вопрос о скорости теплохода по течению реки:
[
v_t + v_r = 36 + 2 = 38 , \text{км/ч}
]
Ответ: Скорость теплохода по течению реки равна 38 км/ч.
