Теплоход шёл 1 час по течению и 8 часов против течения и прошёл 310 км. За 2 часа по течению и 4 часа против течения теплоход проходит 212 км. Скорость теплохода по течению реки…

Для решения задачи нам необходимо определить скорость теплохода по течению реки. Поскольку у нас есть данные о времени, затраченном теплоходом в пути, и расстоянии, которое он прошёл, мы можем использовать систему уравнений.

Давайте обозначим:

• \( v_t \) — скорость теплохода в стоячей воде (без течения);
• \( v_r \) — скорость течения реки.

По условию, скорость теплохода по течению будет равна \( v_t + v_r \), а против течения — \( v_t - v_r \).

Теперь запишем уравнения, основываясь на данных из задачи.

1. Первое уравнение (1 час по течению и 8 часов против течения):

Расстояние, пройденное по течению:

\[ d_1 = (v_t + v_r) \cdot 1 \]

Расстояние, пройденное против течения:

\[ d_2 = (v_t - v_r) \cdot 8 \]

Общее расстояние:

\[ d_1 + d_2 = 310 \quad (1) \]

Подставим выражения для \( d_1 \) и \( d_2 \):

\[ (v_t + v_r) \cdot 1 + (v_t - v_r) \cdot 8 = 310 \]

Раскроем скобки:

\[ v_t + v_r + 8v_t - 8v_r = 310 \]

Упростим:

\[ 9v_t - 7v_r = 310 \quad (1) \]

2. Второе уравнение (2 часа по течению и 4 часа против течения):

Расстояние, пройденное по течению:

\[ d_3 = (v_t + v_r) \cdot 2 \]

Расстояние, пройденное против течения:

\[ d_4 = (v_t - v_r) \cdot 4 \]

Общее расстояние:

\[ d_3 + d_4 = 212 \quad (2) \]

Подставим выражения для \( d_3 \) и \( d_4 \):

\[ (v_t + v_r) \cdot 2 + (v_t - v_r) \cdot 4 = 212 \]

Раскроем скобки:

\[ 2v_t + 2v_r + 4v_t - 4v_r = 212 \]

Упростим:

\[ 6v_t - 2v_r = 212 \quad (2) \]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( 9v_t - 7v_r = 310 \)
2. \( 6v_t - 2v_r = 212 \)

Давайте выразим \( v_r \) через \( v_t \) из второго уравнения:

\[ 2v_r = 6v_t - 212 \] \[ v_r = 3v_t - 106 \quad (3) \]

Теперь подставим \( v_r \) из уравнения (3) в уравнение (1):

\[ 9v_t - 7(3v_t - 106) = 310 \]

Раскроем скобки:

\[ 9v_t - 21v_t + 742 = 310 \]

Упростим:

\[ -12v_t + 742 = 310 \]

Теперь изолируем \( v_t \):

\[ -12v_t = 310 - 742 \] \[ -12v_t = -432 \] \[ v_t = \frac{-432}{-12} \] \[ v_t = 36 \]

Теперь найдем \( v_r \):

Подставим \( v_t \) в уравнение (3):

\[ v_r = 3 \cdot 36 - 106 \] \[ v_r = 108 - 106 \] \[ v_r = 2 \]

Теперь мы можем ответить на вопрос о скорости теплохода по течению реки:

\[ v_t + v_r = 36 + 2 = 38 \, \text{км/ч} \]

Ответ: Скорость теплохода по течению реки равна 38 км/ч.